Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

Geometria: Insieme di generatori. Cosa sono? come si trovano?

Ho un esame tra 20 giorni e questo argomento mi rimane oscuro: ho capito che cos'è una base ed un sottospazio ma gli i. di generatori sono un macello.

Accetto molto volentieri come risposte anche esmpi oppure siti dove posso andare a vedere.

grazie

2 risposte

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  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    intendi "generatori di spazi vettoriali"? se hai capito cos'è una base hai capito anche cosa sono dei generatori. una base di uno spazio vettoriale è un insieme di generatori linearmente indipendenti, ossia tali che nessuno di essi può essere visto come combinazione lineare di altri. Quindi, dei generatori sono semplicemente una base, solo che possono anche non essere linearmente indipendenti.

    La definzione formale è questa:

    Dei generatori sono dei vettori tali che ogni vettore dello spazio considerato lo puoi scrivere come combinazione lineare dei generatori.

    L'esempio più ovvio è l'insieme composto dai tre vettori di R^3 (1,0,0), (0,1,0) (0,0,1).

    Ogni vettore di R^3 ha la forma (a,b,c), con a,b e c appartenenti a R. quindi puoi scrivere (a,b,c)=a*(1,0,0)+b*(0,1,0)+c*(0,0,1)

    quindi (1,0,0), (0,1,0) (0,0,1) sono dei generatori.

    inoltre sono anche linearmente indipendenti (ossia non esistono x e y tali che (1,0,0)=x*(0,1,0)+y*(0,0,1), per esempio), quindi oltre ad essere generatori, sono anche una base. Per capire in fretta se n vettori con n elementi sono linermente indipendenti, calcola il determinante della matrice che ha per colonne tali vettori: se ti viene 0, allora sono dipendenti, altrimenti sono indipendenti.

    C'è un teorema, la cui dimostrazione per fortuna non ricordo, che dice che ogni base di uno spazio vettoriale ha un numero fisso di elementi - questo numero è la dimensione dello spazio vettoriale.

    magari vai a dare un occhiata a ste pagine

    http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale

    http://it.wikipedia.org/wiki/Base_(algebra_lineare...

    http://it.wikipedia.org/wiki/Span

  • Anonimo
    1 decennio fa
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