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Determinare equazione della tangente all'iperbole nel suo punto..?

Ragazzi vi prego aiutatemi...domani ho il compito...e non so fare questo esercizio..."Determinare l'equazione della tangente all'iperbole 4x^2 - 9y^2=36 nel punto (5;8/3)!!Ragazzi aiutatemi!!!Grazie!!

3 risposte

Classificazione
  • Marina
    Lv 6
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Spiegazione:

    Scrivi l'equazione generica della retta passante per il punto dato la intersechi con l'equazione dell'iperbole, imponi il delta=0(condizione di tangenza) e risolvi l'equazione in m.

    Trovata la m la sostituisci nella retta e quella è la tangente all'iperbole passante per quel punto.

    Procediamo:

    retta generica per il punto è:

    y-8/3=m(x-5)

    y=mx-5m+8/3 adesso la intersechiamo con l'iperbole:

    y=mx-5m+8/3

    4x^2 - 9y^2=36

    4x^2-9(mx-5m+8/3)^2=36

    4x^2-9(m^2x^2+25m^2+

    +64/9-10m^2x+16/3mx-80/3m)=36

    4x^2-9m^2x^2-225m^2-64+

    +90m^2x-48mx+240m=36

    Adesso la ordiniamo dal grado più alto al più basso di x:

    x^2(4-9m^2)+x(90m^2-48m)+

    +(-225m^2+240m-100)=0

    Adesso dobbiamo imporre delta=0

    (90m^2-48m)^2-4*(4-9m^2)*

    *(-225m^2+240m-100)=0

    8100m^4+2304m^2-8640m^3-

    -(16-36m^2)*(-225m^2+240m-100)=0

    8100m^4+2304m^2-8640m^3-

    -(-3600 m^2+3840m-1600+

    +8100m^4-8640m^3+3600m^2)=0

    8100m^4+2304m^2-8640m^3-

    -8100m^4+8640m^3-3840m+1600=0

    2304m^2-3840m+1600=0

    (48m-40)^2=0

    quindi

    48m=40

    m=40/48=5/6

    Riprendiamo la retta:

    y=mx-5m+8/3

    sostituiamo il coefficiente angolare m=5/6 e otteniamo:

    y=5/6x-5*5/6+8/3

    y=5/6x-25/6+8/3

    y=5/6x-3/2

    Questa è l'equazione della tangente all'iperbole passante per il punto (5;8/3) scritta in forma esplicita se la preferisci in forma implicita basta liberare dai denominatori per ottenere:

    6y=5x-9

    5x-6y-9=0 così è in forma implicita

    :))

  • zorro
    Lv 6
    1 decennio fa

    Ciao Stefano S408, calma e gesso (come dicono i giocatori di biliardo).

    Ti insegno un metodo facile facile che vale per tutte le curve della geometria analitica (circonf. parabola, ellisse e iperbole) e CHE NON FA RICORSO AL SISTEMA FRA UNA RETTA GENERICA PER IL PUNTO E L'IMPOSIZIONE DEL DELTA = 0.

    Il metodo va sotto il nome dello "Sdoppiamento delle variabili" se per caso la tua insegnante non dovesse conoscerlo (se si arrabbia, dille che te lo ha suggerito un tuo zio).

    Il metodo consiste nel sostituire a tutte le incognite al qadrato il prodotto dell'incognita semplice e della coordinata omonima del punt di contatto; e ad ogni incognita di primo grado si sostituisce la semisomma dell'inognita stessa con la coordinata omonima del punto. Risolvendo il tutto si ottiene direttamente la tangente alla curva nel punto scelto.

    ATTENZIONE: il metodo vale SOLO PER LE TANGENTI "NEI" PUNTI DELLA CURVA e NON condotte da punti esterni alla curva (per i quali vale inece il metodo classico).

    Nel tuo caso allora devi effettuare queste trasformazioni:

    x^2--> 5*x

    y^2--> 8/3*y

    (non è il tuo caso ma se ci fossero anche x ed y semplici dovresti:

    x--> (x+5)/2

    y--> (y+8/3)/2

    Torniamo a noi e aggungiamo ai due termini di sopra e coefficienti 4 e -9 e completiamo i calcoli:

    4*5*x - 9*8/3*y=36 mcm

    60x - 72y = 108 semplifica tutti i oefficienti

    5x - 6y = 9

    Fine. Ciao.

  • Anonimo
    1 decennio fa

    dividi per 36 riportando l'iperbole nella sua forma canonica:

    x^2 /9 - y^2 /4=1

    l'eq della tangente è data dalla formula:

    (x * xo) /a^2 - (y*yo)/b^2=1

    5x/9 - 8/3y /4= 1

    5x/9 - 2y/3 =1

    5x - 6y = 9

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