Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

parlando di vettori e di basi cos'è l' insieme di generatori?

1 risposta

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  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    Un insieme di generatori di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori tale che ogni vettore dello spazio si può ottenere come combinazione lineare dei vettori dell'insieme di generatori.

    Si dice anche che questo insieme di vettori genera lo spazio,

    Si tratta di un concetto diverso dalla base: una base non è altro che un insieme di vettori, che, oltre a generare lo spazio, sono anche linearmente indipendenti. In altre parole, una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti.

    Prendiamo, ad esempio, R^3, che è uno spazio vettoriale costruito sul campo reale.

    Prendiamo i tre vettori (1 0 0) (0 1 0) e (0 0 1): questi costituiscono un insieme di generatori per R^3, in quanto ogni vettore di R^3 si può ottenere come combinazione lineare dei tre vettori dati e, inoltre, ogni combinazione lineare dei tre vettori fornisce un vettore di R^3; oltre a ciò, i tre vettori sono anche linearmente indipendenti, quindi, oltre che un insieme di generatori, costituiscono anche una base per R^3.

    Al contrario, i 4 vettori (1 1 1) (1 1 0) 1 0 0) e (2 3 0) costituiscono ancora un insieme di generatori per R^3, ma poiché non sono linearmente indipendenti, non costituiscono una base.

    Concludendo: una base è sempre un insieme di generatori, mentre un insieme di generatori non è detto che sia anche una base.

    Ciao

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