cecilia ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

generatori?

qualcuno puo' dirmi se e quando dei vettroi sono dei generatori? quando sono l. ind. o dip. e perche'?

2 risposte

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  • Anonimo
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Un insieme di vettori I di uno spazio vettoriale V si dice "sistema di generatori" quando ogni vettore di V è esprimibile come combinazione lineare di I.

    In sintesi, preso un QUALSIASI vettore di uno spazio vettoriale V questo può essere espresso usando i vettori appartenenti all'insieme I.

    I vettori dei sistemi di generatori non devono essere necessariamente linearmente indipendenti fra loro: esistono effettivamente sistemi di generatori di infiniti vettori di cui solo una parte è linearmente indipendente.

    Quando un sistema di generatori contiene SOLO vettori linearmente indipendenti invece parliamo di "base" di uno spazio vettoriale. Il numero di vettori di una qualsiasi base di uno spazio vettoriale ne costituisce inoltre la "dimensione".

    Prendiamo per esempio lo spazio R³.

    Tale spazio ha dimensione 3: presi tre vettori linearmente indipendenti fra loro ogni altro vettore di R³ può essere espresso come loro combinazione lineare.

    Prendiamo per esempio tre vettori:

    u1=(1,0,0)

    u2=(0,1,0)

    u3=(0,0,1)

    Questi tre vettori sono linearmente indipendenti: lo si può verificare mettendo le loro componenti in colonne di una matrice e poi calcolando il determinante (o il rango) di quest'ultima.

    Essendo u1, u2 e u3 linearmente indipendenti e trovandoci noi in uno spazio di dimensione 3 se ne deduce che QUALSIASI vettore di R³ esclusi questi 3 può essere espresso come loro combinazione lineare.

    Prendiamone uno strambo:

    u4=(π²,√e,-5)

    Verifichiamo se questo è combinazione lineare degli altri tre:

    α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) = (π²,√e,-5)

    (α,0,0) + (0,β,0) + (0,0,γ) = (π²,√e,-5)

    {α=π²

    {β=√e

    {γ=-5

    Moltiplicando u1 per π², u2 per √e ed u3 per -5 e sommando poi fra di loro poi i nuovi vettori otteniamo proprio u4: u4 è quindi combinazione lineare di u1,u2,u3 (o, detto meglio, u4 appartiene alla chiusura lineare di u1,u2,u3).

    I=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) è quindi un sistema di generatori di R³ ed essendo i suoi vettori linearmente indipendenti ne costituisce anche una base.

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  • 1 decennio fa

    I vettori sono generatori di uno spazio vettoriale quando sono linearmente indipendenti e costituiscono quindi il minimo numero di vettori che descrivono completamente lo spazio vettoriale in questione (ad esempio per 1 piano i generatori sono 2). 2 vettori sono linearmente indipendenti se attraverso qualsiasi operazione lineare (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) partendo da 1 vettore non riesco ad ottenere l'altro; questo concetto si può generalizzare a qualsiasi n vettori (ricordando però che in 1 piano ci sono solo 2 vettori linearmente indipendenti e nello spazio a 3d invece ce ne sono tre). 2 vettori sono invece linearmente dipendenti se partendo da 1 attraverso delle semplici operazioni riesco ad ottenre l'altro (anke qui il concetto è generalizzabile ad n vettori); 1 esempio di vettori dipendenti sono 1 vettore qualsiasi e un altro che ha stesso verso e direzione del primo ma modulo (=valore numerico) doppio; il secondo vettore è dipendente dal primo poichè basta moltiplicare quest'ultimo per 2 per ottenerlo (o viceversa puoi pensare anke ke sia il secondo vettore indipendente ed il primo invece dipendente da esso attraverso la relazione di 1/2 tra i moduli)!

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