dimo_87 ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

mi sono sempre chiesto perchè meno per meno fa più?

ke ragionamento si può fare per dimostrarlo???

6 risposte

Classificazione
  • Anonimo
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Il negativo del negativo e un numero di verso positivo.

  • 1 decennio fa

    Bisogna fare un passo indietro.

    Partiamo dall'insieme N dei numeri naturali (interi positivi compreso lo 0).

    In tale insieme sono completamente definite e godono di alcune proprietà le operazioni di somma e prodotto mentre sono solo parzialmente definite le operazioni di sottrazione e divisione.

    Si dice che un insieme A è CHIUSO rispetto ad una generica operazione ° se, dati due elementi a e b appartenenti all'insieme A, il risultato di a ° b è ancora un elemento di A.

    Come detto sopra, si può anche dire che l'operazione ° è completamente definita in A.

    Dunque N è chiuso rispetto a somma e prodotto, infatti, dati a e b interi positivi, sono interi positivi anche (a + b) e (a * b).

    Inoltre, sia la somma che il prodotto godono della proprietà di esistenza dell'elemento neutro, ossia di quell'elemento n tale che a + n = a e a * n = a per qualunque a.

    Per la somma il neutro è ovviamente lo 0 mentre per il prodotto è 1.

    N non è invece chiuso rispetto alla sottrazione, infatti (a - b) appartiene a N se e solo se a ≥ b. Se infatti a fosse minore di b avresti (a - b) < 0 ossia un numero che in N non è definito.

    Stesso discorso per a/b. Infatti, a/b è un intero positivo solo se a è multiplo di b.

    Per poter definire completamente l'operazione di sottrazione si è reso necessario l'ampliamento di N all'insieme Z degli interi relativi, dove l'operazione a - b ha sempre senso.

    In Z l'operazione di addizione gode di una nuova, importante proprietà che è l'esistenza del simmetrico.

    Si dice simmetrico di un elemento x rispetto alla somma quel numero s che sommato a x ci dà l'elemento neutro della somma.

    Abbiamo visto sopra che in N l'elemento simmetrico della somma è lo 0 e siccome il sottoinsieme dei numeri di Z ≥ 0 è identico (isomorfo) all'insieme N degli interi positivi, Z deve mantenere le stesse proprietà valide in N ed eventualmente estenderle o godere di altre proprietà che non vadano però ad invalidare quelle provate per N.

    Ciò significa che anche in Z il simmetrico della somma è lo 0 e dunque in Z esiste per ogni x un elemento s tale che x + s = 0.

    Tale elemento si dice OPPOSTO di x e si indica con (-x). Infatti x + (-x) = x - x = 0.

    E qui veniamo, finalmente, a ciò che ti interessa.

    Essendo che Z, come N, è chiuso rispetto a somma e prodotto allora, dati a, b interi relativi anche (a + b) e (a * b) sono interi relativi e dunque sia per (a + b) che per (a * b) deve esistere l'elemento simmetrico.

    Si tratta dunque di dimostrare che

    a * (-b) = -(a * b)

    ossia che

    [a * (-b)] + (a * b) = 0

    Per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma hai che

    [a * (-b)] + (a * b) = a * (b - b) = a * 0 = 0

    Allo stesso modo si dimostra che (-a) * b = -(a * b) e dunque è dimostrato che a * (-b) = (-a) * b = -(a * b).

    Per estensione si ha che:

    -a = 1 * (-a) = (-1) * a

    e dunque che

    -(-a) = (-1) * (-a) = 1 * a = a

    Spero di non avertela fatta troppo complicata.

    Bye

    J.

    Lucy, non fare confusione: l'inverso e l'opposto non sono la stessa cosa.

    L'inverso di n è 1/n mentre l'opposto di n è -n. Dato n € N l'inverso è definito in Q mentre l'opposto lo è già in Z.

    Cesare, da dove credi che arrivi l'algebra booleana? Prima di poter dimostrare le proprietà della negazione sul risultato della congiunzione logica devi dimostrare che quello di Boole è un reticolo e prima di questo che è un campo, ossia un anello commutativo con unità e dotato di inverso moltiplicativo e dunque devi definire che cosa sia un anello etc, etc, etc fino ad arrivare al fatto che Z è un anello perché in esso sono dimostrate (tra le altre) le proprietà viste sopra.

    Byebye

    J.

  • 1 decennio fa

    Ciao! Per logica..immagina, infatti, per assurdo che non sia così, allora ad esempio:

    +5 * -5= +25

    +5 * +5= +25

    allora--> -5=+5 il che è assurdo!

  • 1 decennio fa

    Se posso permettermi, gli assiomi qui non c'entrano niente. Devi partire dai numeri positivi interi (qui sì gli assiomi c'entrano!). Un numero intero col segno negativo è definito come il numero che sommato allo stesso numero col segno positivo dà 0.

    Ad esempio -3 è quel numero che, sommato a 3, dà 0, o se vuoi, l'inverso di 3 (con il linguaggio dell'algebra), oppure l'opposto di 3 (come comunemente viene chiamato). Ora, cosa è la moltiplicazione, se non una somma ripetuta?

    Ad esempio 4*2=2+2+2+2. Allora se vuoi fare 4*(-2) devi sommare quattro volte il numero -2 e quindi hai -2-2-2-2=-8. D'altra parte se vuoi che somma e moltiplicazione "siano compatibili" (o con il linguaggio dell'algebra, che formino un anello) vogliamo che valga -(a*b)=(-a)*b, per cui applicandolo all'esempio di sopra, -(4*(-2))=(-4)*(-2), d'altra parte sappiamo di già che 4*(-2)=-8 per cui (-4)*(-2)=-(4*(-2))=-(-8)=8, dove questo ultimo passaggio è giustificato perché l'opposto di un numero è il numero che sommato al primo dà 0, per cui -(-8) è il numero che sommato a -8 dà 0, ovvero 8.

    Questo vale per gli interi, ti risparmio il procedimento che permette di estendere la cosa dapprima ai numeri razionali (ovvero alle frazioni) e poi a tutti i numeri reali, compresi quelli irrazionali (tipo pi greco).

  • Che ne pensi delle risposte? Puoi accedere per votare la risposta.
  • 1 decennio fa

    La domanda è dunque come si dimostra e non come si spiega o se sia ragionevole, bene ecco la mia risposta.

    Non si dimostra: è un assioma che moltiplicare un numero A (positivo o negativo) per un numero B negativo si ha un prodotto dal segno discorde da quello di A.

    In sostanza devi pensare che -1 rappresenta l'invertitore di segno del prodotto (in informatica è il NOT ) e se dunque hai un numero pari di fattori negativi il prodotto sarà positivo (ha cambiato segno, partendo da +, un numero pari di volte per cui rimane +). Ovvio che se gli invertitori in un prodotto sono dispari, il segno sarà -.

    C'è una analogia logica interessante, è quello della porta AND (prodotto logico). Supponi di avere una porta AND cui connetti due

    ingressi preceduti da un invertitore (il NOT appunto). Quello che succede è proprio come nel prodotto di due numeri negativi: se i due ingressi sono FALSI (leggi:negativi) alla porta AND (operazione prodotto logico) arriveranno due ingressi VERI (leggi positivi) a cui corrisponde una uscita VERA (leggi risultato prodotto positivo).

    Detto in forma logica verbale: una frase del tipo NON 'A' E NON 'B' è vera se e solo se A e B sono affermazioni FALSE contemporanemente.

    Concludendo: la risposta alla tua domanda è che te devi prendere cosi com'è la definizione del prodotto concorde negativo. Inoltre che tale fatto possa essere ragionevole e che conduca a considerazioni logicamente consistenti è un dato di fatto, cosi' come già alcuni prima di me ti hanno indicato.

  • 1 decennio fa

    Si può anche fare un esempio:

    Se parti dalla città A percorrendo la strada che arriva alla città B, possiamo prendere il punto di mezzo C di questa strada come riferimento, e stabilire arbitrariamente che essendo C il punto 0, le distanze da C procedendo verso B sono positive e quelle da C verso A sono negative.

    Quando incroci qualcuno nel punto C che va in direzione opposta alla tua (quindi verso A) possiamo dire che questi procede a velocità negativa, perché al passare del tempo la sua distanza da C diventa negativa.

    Assumiamo come 0 l'istante in cui questo viaggiatore ha raggiunto il punto C; Dopo questo momento assegneremo al tempo che scorre delle misure positive, mentre al tempo precedente questo istante assegneremo al tempo delle misure negative, come in un ipotetico conto alla rovescia.

    La distanza si ottiene moltiplicando la velocità (media) per il tempo, il quale ha segno positivo se lo intendiamo nel suo scorrere abituale.

    In questo caso abbiamo un valore positivo (tempo) e uno negativo (la velocità per come l'abbiamo definita) che moltiplicati tra loro danno un valore negativo.

    Per arrivare alla risposta della tua domanda basta chiedersi dove potesse trovarsi questo qualcuno prima dell'istante zero, ovvero in un tempo che abbiamo misurato con un valore negativo.

    Ovviamente si sarà trovato in un punto tra C e B, che ha una distanza identificata da un valore positivo.

    Perciò una velocità negativa per un tempo negativo ci porta ad una distanza positiva.

    Ammesso che questo dimostri qualcosa...

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.