generatori?

Question

I vettori

1 1 1

1 1 0

1 0 0

2 3 0

sono dei generatori perché?

E come si definiscono i generatori?

Answer 1

Risposta preferita

Non è evidente se i vettori debbano essere trattati come vettori colonna o vettori riga.

Come vettori colonna, si tratterebbe di 3 vettori di R4 (supponendo di parlare di spazi vettoriali reali), dunque sicuramente non costituiscono un sistema di generatori per R4 (poiché 4=dimR4>3).

Come vettori riga, si tratta di 4 vettori di R3. Di questi i primi tre sono linearmente indipendenti. Infatti:

a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(1,0,0)=(0,0,0)

implica

(a+b+c,a+b,a)=(0,0,0)

da cui a=b=c=0. Pertanto, i primi tre vettori costituiscono una base di R3 e, a maggior ragione, i quattro vettori generano R3 (già i primi tre lo fanno).

Un sistema di generatori di uno spazio vettoriale V su k di dimensione finita è costituito da vettori v[1],...,v[m], m<inf. tali che per ogni v€V esistono a[1],...,a[m]€k tali che:

v=a[1]*v[1]+...+a[m]*v[m]

Cioè ogni vettore v di V è combinazione lineare dei generatori.