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Utente
Lv 6
Utente ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

La calcolatrice come calcola logaritmi e radici n-esime?

Scusate se faccio due domande in una ma c'è la crisi e devo risparmiare XD

Comunque volevo sapere come fa la calcolatrice a...:

1)...calcolare il logaritmo(base e o 10 che sia) di un numero reale

intendo calcoli come log(12,34) e non log(100) che si capisce che è 2.

2)...calcolare radici n-esime come radice settima di 278,421

evitare gentilmente risposte del tipo: mA Tu 6 F0lL3,mA Ke T fR3Ga ecc

Grazie in anticipo a chi mi risponderà seriamente.

Aggiornamento:

@ medicosiamese: lo so questo ma appunto il problema è come fa a calcolare ad esempio 13^(7/3) ??

@ ale.31 hai azzeccato il problema nel senso che io volevo fare proprio un programmino cosi in c++ e volevo sapere qual è la formula che usano...non è che per caso la sai?

Aggiornamento 2:

@acaro82 non sono i tasti che devo premere il problema...a me interessa sapere quale formula usa la calcolatrice per svolgere questi tipi di calcoli....

Aggiornamento 3:

@calolillo: sei stato molto chiaro,grazie,ma visto che queste cose non le ho ancora studiate,non è che mi potresti elencare quali sono queste formule?

grazie 10^3

Aggiornamento 4:

@calolillo: sei stato molto chiaro,grazie,ma visto che queste cose non le ho ancora studiate,non è che mi potresti elencare quali sono queste formule?

grazie 10^3 xd

6 risposte

Classificazione
  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    La calcolatrice esegue approssimazioni, non calcoli veri e prorpi, in quanto gli operatori che tu hai citato, utilizzano numeri dell'insieme R, un insieme che nella realtà non può essere utilizzato (tutte le calcolatrici e i pc approssimano a numeri razionali, cioè le divisioni tra numeri interi)

    faccio un esmpio:

    quanto fa 2.345 + 4.123???

    mettiamo in colonna le cifre e calcoliamo partendo da destra e andando verso sinistra giusto (faccio notare che i numeri che ho inserito sono dei numeri razionali, k cioè possono essere descritti come divisione di numeri interi)

    2.345 +

    4.123 =

    -----------

    6.468

    molto semplice no?

    proviamo ora a calcolare e + e (dove con e intendiamo il numero reale per eccellenza, ovvero il numero di nepero)

    bhè la risposta più precisa è sicuramente 2e, ma noi vogliamo fare l'operazione in colonna con numeri arabi e non simboli moderni:

    e=2.718281828....

    quindi:

    2.718281828... +

    2.718281828 =

    -----------------------

    ??????

    come facciamo a partire da destra????? dove finisce il numero??? esso prosegue l'infinito e quindi non possiamo calcolare!!

    la calcolatrice esegue l'operazione troncando ad un certo numero di cifra decimale: arriva fino ad un certo numero di cifre e quelle dopo le butta via....

    detto questo, il calcolo di un numero razionale (la troncatura di un numero reale) avviene per il calcolo in qualsiasi base:

    1. in primo luogo la calcolatrice applica la regola del cambio di base dei logaritmi, trasformando un logaritmo qualsiasi nel logaritmo di nepero ln. Mediante un sistema di approssimazione della curva, detto formula di Taylor, o di Mac-Laurin, la calcolatrice trasforma il logaritmo in una funzione lineare, cioè in un polinomio di questo tipo:

    ln (x+1)= Polinomio di Taylor + errore

    (modificando i dati in modo tale che l'1 sia compreso) l'errore è un errore di approssimazione legato al grado del polinomio di taylor, che, anche se nella matematica teorica è importantissimo, nella matematica approssimativa della calcolatrice, questo errore, essendo il grado del polinomio molto alto (grado 10, 15, non so con precisione) può essere trascurato:

    il polinomio di taylor di ln x è:

    sommatoria (da n=0 a inf) di [(-1)^n] [(x^n)/n]

    che è come dire

    x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+[(-1)^n] [(x^n)/n]

    questo tipo di polinomio è molto facile da calcolare per la calcolatrice: 2.al posto di x mette il valore che tu hai inserito all'inizio e calcola praticamente una somma di risultati!!!

    il calcolo di radici avviene sempre con processi di approssimazione e trasformazione di radice in calcoli molto più semplici (alla fine il tutto è trasforato nelle quattro operazioni). La radice è già un polinomio, e non può essere trasformata in un polinomio di taylor. si utilizzano exploit matematici come derivate, teorema degli zeri, teorema di cauchy, per ottenere un algoritmo che trasformi il tutto in una serie di somme che la calcolatrice può calcolare...

    in generale la radice non è altro che un esponente il cui valore è approssimato ad un numero, che viene trasformato in una somma di numeri, di cui viene fatto l'esponente e da qui la calcolatrice può calcolare. Sono calcoli complessi per una persona:

    x^(1/7)=x^(0.14...)=x^(0+0.1+0.04+...)=

    =x^0*x^(0.1)*x^(0.04)

    e di conseguenza 0.1 è trasformato in 1/10 e approssimato a valori + semplici affinchè la calcolatrice possa calcolarli etc etc

    per numeri negativi spesso la soluzione passa per i numeri complessi, e la calcolatrice trasforma la radice, prima in una radice complessa, di questa ne compie una analisi trigonometrica, cioè trasforma, la radice in questo modo (x per semplicità):

    radice settima di x= radice settima di (x+i0) (numero complesso in forma lineare)

    quindi

    x=x+i0=|x|(cos pi+isin pi)

    la radice è uguale a radice settima di |x|(sos pi/7 + i sin pi/7)

    che è calcolata utilizzando il polinomio di taylor di seno e coseno così come abbiamo fatto per il ln

    I CONCETTI ESPRESSI SONO IN GENERALE IN QUANTO SICURAMENTE ESISTONO ALGORITMI BEN + COMPLESSI DI QUESTI CHE SONO UTILIZZATI DALLE SOFTWARE HOUSE CHE PRODUCONO PROGRAMMI DI ANALISI E CALCOLO MATEMATICO PER PC E CALCOLATRICI, però è un buon inizio per capire....

    spero di essere stato chiaro, ciao ciao e buone feste (scusa se son stato così prolisso e scusa gli errori di battitura..)

    ----------------------

    ho visto i commenti:

    un programma che segue un po' le linee che ti ho fornito è ad esempio Derive della TI (che produce calcolatrici), il sistema è in grado di fare grafici e semplici analisi delle funzioni, calcolo di limiti e calcolo di integrali, espansioni di taylor, sommatorie etc...

    se hai il coraggio potresti provare mathematica della wolfram, ma questo è un programma per esperti di matematica, molto complesso da usare, in quanto le se possibilità sono talmente ampie che ogni impostazione deve essere chiamata in script, non è a disposizione sotto forma di iconcina, come in derive...

    Auguri per gli studi!!!

    -------------------------

    Aggiungo ancora...

    le formule di taylor seguono questo concetto di sommatoria:

    presa una funzione f(x) e preso un punto x0 (detto anche centro) l'approssimazione della curva in f(x0) è uguale a

    (k è grado di approssimazione del polinomio)

    sommatoria di n=0 a k di

    D n-esima (f(x0)) * 1/n! * (x-x0)^n

    non è una formula semplice sprattutto scritta in questo modo, comunque puoi guardare qui:

    http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor

  • 1 decennio fa

    Per quanto ne so io, ti posso dire che i valori che ti da una calcolatrice sono sempre approssimati all'ultima cifra decimale visualizzata sul display...in realtà è impossibile in certi casi fornire il valore esatto. La calcolatrice non fa altro che approssimare le funzioni logaritmo e radice ad altre funzioni tramite metodi matematici tutto sommato semplici, come ad esempio l'utilizzo dei polinomi di Taylor. Diversi sono i metodi matematici utilizzati per approssimare una funzione. Basta utilizzarne uno per ottenere nel modo più veloce l'approssimazione desiderata.

  • 1 decennio fa

    Di solito varia a seconda della calcolatrice...

    Nella mia per es. per calcolare il logaritmo decimale (log) o naturale (ln), scrivo il numero e poi premo log o ln e mi esce il risultato.

    Percalcolare la radice n-sima di un numero qualsiasi, se non hai direttamente la funzione radice sulla calcolatrice, devi fare la funzione inversa dell'esponenziale:

    scrivi il numero, poi premi INV, poi a^x, poi digiti l'indice della radice, poi premi = e ti esce il risultato

    Es. Radice settima di 278.421:

    digita 278.421

    digita INV

    digita a^x

    digita 7

    digita =

    ed esce il risultato.

    Fai qualche prova e vedi

  • Anonimo
    1 decennio fa

    E' in microcontrollore , programmato. Puoi provare anche in Visual Basic .

    La differenza stà nel fatto che per esempio una moltiplicazione , si deve scrivere in linguaggio come una somma : es ---> 5 x 2 ----> 5+5 (tante volte quanto è il secondo numero , 2 in questo caso).

    Le radici sono formule più complesse , ma derivate dalle leggi fondamentali.

    Non saprei .....quelle cose così difficili non le ho mai fatte , ma ti posso dire che non puoi senza buone conoscenze di programmazione. Ti assicuro , già la moltiplicazione sono una trentina di stringhe.......

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  • 1) Esistono le tabelle dei logaritmi in basi 10 ed e e fa una interpolazione dei dati.Ovviamente migliore è la calcolatrice,maggiori saranno le cifre significative

    2)

    considera che la radice n-esima non è nien'altro che un'elevamento a 1/n.

    Quindi utilizza l'algoritmo dell'elevamento.

  • Sissi
    Lv 6
    1 decennio fa

    Immagino che sia programmata con degli algoritmi risolutivi appositi...

    Ciao, Sissi

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