Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

Xkè la molteplicità geometrica di una matrice è minore della molteplicità algebrica?

Aggiornamento:

la mia domanda nel compito è questa:" Data la definizione di molteplicit` algebrica m e geometrica d per l’autovalore λ della matrice quadrata

a

A, si dimostri che 1 ≤ mg ≤ ma.???".

noi di basi spettrali nel nostro corso nnn ne abbiamo mai parlato abbiamo paralto di cambiamenti di base e di matrici associate però nn ho capito come dimostrare che 1<mg<ma

1 risposta

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  • Anonimo
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Calma: le molteplicità riguardano le radici del polinomio caratteristico, non le matrici stesse.

    Per ogni valore λ vale che:

    1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ)

    dove ma(λ) è la molteplicità algebrica dell'autovalore e mg(λ) quella geometrica (ossia la dimensione del relativo autospazio).

    Se proprio ti interessa posso farti la dimostrazione (che si incentra su basi spettrali, completamento della base spettrale, cambio di base della matrice associata alla trasformazione lineare e calcolo del polinomio caratteristico) ma è decisamente intricata (e nemmeno tanto utile, a mio avviso).

    ——————

    Vabbè, io provo a spiegarla, poi succeda quel che succeda.

    Allora, prima di tutto: dato un endomorfismo T e la matrice A ad esso associata, un autovalore di T è un numero λ tale che il nucleo dell'endomorfismo (λ*ID - A) non sia banale (con ID intendo la matrice identica di ordine n, con banale intendo che il sistema accetti solo la n-pla (0,0,0....,0) come soluzione);

    Poiché mg(λ) = dim(as(λ)) (dove as(λ) è l'autospazio dell'autovalore λ) per la stessa definizione di autovalore si ha che mg(λ)≥1.

    Resta da stabilire se mg(λ)≤ma(λ).

    Poniamo mg(λ)=m (con m≥1, come abbiamo appena stabilito) e ipotizziamo di essere in uno spazio n-dimensionale V^n.

    Estraiamo una base dell'autospazio B=(v1,v2,v3,...,vk) e completiamola con n-k vettori linearmente indipendenti da quelli già presenti per renderla una base di V^n.

    Se B'=(w1,w2,w3,....wn) è una base di V^n, la base che otterremo sarà:

    B''=(v1,v2,v3,...,vk, w1,...,w(n-k))

    Abbiamo una nuova base per lo stesso spazio vettoriale di partenza: possiamo quindi ottenere una nuova matrice associata all'endomorfismo rispetto alla nuova base B''.

    Tuttavia, alcuni dei vettori della nuova base appartengono ad as(λ) e quindi varrà che:

    T(vi) = λvi

    dove vi è l'i-esimo vettore della base di as(λ).

    La A associata alla nuova base sarà quindi di questo tipo (lo so che fa schifo il disegno, ma è il meglio che so fare):

    ( λ 0 ....... 0...|........................)

    ( 0 λ ....... 0...|........................)

    ( : : ........ : ...|..........α...........)

    ( 0 0 ........ λ..|........................)

    ( 0 0 ......... 0..| —————— )

    ( 0 0 ..........0..|.......................)

    ( : : ............ : |..........β...........)

    ( 0 0 .......... 0 |.......................)

    dove α e β sono "blocchi" di elementi di ordine rispettivamente nx(n-k) e (n-k)x(n-k) che possono contenere qualunque numero in qualsiasi posizione.

    Le linee orizzontali (| e —) che vedi servono solo a dividere graficamente la matrice per far capire quali sono i blocchi e quali non lo sono.

    Ora: dato che sulla diagonale principale si trova m-volte il valore λ, se calcoliamo il polinomio caratteristico di questa radice siamo sicuri che sarà in questa forma:

    r(x) = (x-λ)^m * p(x)

    dove p(x) è un polinomio di grado n-k che cambia di volta in volta (a seconda di come si sceglie la base complementare).

    Se noti l'ultimo passaggio vedrai che m, che è la molteplicità geometrica, è andata ad occupare il posto della molteplicità algebrica (ossia, detta in soldoni, è divenuto l'esponente di (x-λ), che è l'autovalore stesso di partenza).

    Da quest'ultimo passaggio ne deriva che la molteplicità geometrica non può mai superare la molteplicità algebrica (non avrebbe senso!) e, messa a sistema con la condizione che abbiamo trovato all'inizio, ne abbiamo che:

    1 ≤ mg(λ) ≤ mg(α)

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