mptattt ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 1 decennio fa

Problema veramente arduo!?

Una palla da biliardo ha massa M e raggio R. Il coefficiente di attrito dinamico tra palla e biliardo è k=0.3 . La palla viene colpita orizzontalmente da una stecca all'altezza del centro di massa ed acquista una velocità V=5m/s. Quanta strada percorre la palla prima di smettere di scivolare e iniziare un moto di puro rotolamento?

Aggiornamento:

allora nessuno ci riesce? è importante vi prego!

1 risposta

Classificazione
  • prete
    Lv 6
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Ciao. Prima si applica F = ma al centro di massa. Le forze in gioco sono il peso (P=Mg) la reazione normale (N) e la forza di attrito (mu.N)

    Lungo l'asse verticale si ricava: N = Mg (no accelerazione!)

    Lungo l'orizzontale:

    -mu. N = Ma --> a = -mu.g

    Dunque il centro di massa di muove di moto unif. dec. (a negativa costante) e la sua velocita' Vc all'istante t sara'

    Vc(t) = V0 - mu.g.t

    Con V0 velocita' iniziale (5m/s)

    Poi ci mettiamo nel centro di massa e calcoliamo la coppia delle forze imponendo che sia uguale all'accelerazione angolare. Se la velocita' angolare e' w (omega) si trova:

    R.mu.N = dw/dt . I

    ove I e' il momento di inerzia della sfera rispetto ad un asse che passa per il centro. E' tabulato:

    I = 2/5 MR^2

    Dunque:

    dw/dt = R.mu.M.g/I

    Che ha soluzione

    w(t) = R.mu.M.g.t/I

    tenuto conto che a t=0 la boccia non gira.

    Riassumendo: abbiamo una boccia che rispetto al centro di massa decelera uniformemente e ruota con velocita' angolare che accelera uniformemente. Ad un certo punto la velocita' angolare sara' tale che la boccia smettera di slittare sul panno e iniziera' a rotolare. Questo accadra' all'istante tf quando

    Vc(tf) = w(tf).R

    Ora metto le soluzioni che ho trovato per w(t) e Vc(t) e risolvo:

    R^2.mu.M.g.tf/I = V0 - mu.g.tf -->

    mu.g.tf (R^2.M/I + 1) = V0 -->

    tf = V0 / [mu.g.(R^2.M/I + 1) ] --> (sostituisco I=...)

    tf = V0 / [mu.g.(7/2)]

    Il moto del centro di massa e' unif dec e dunque con formula

    s(t) = V0.t-1/2at^2

    Calcoli in tf e il gioco e' fatto

    s(tf) = V0^2/[mu.g.(7/2)]-1/2.mu.g.V0^2/[mu.g.(7/2)]^2 =

    = 12.V0^2 / [49.mu.g]

    Sono un po' di fretta, spero di non aver sbagliato i conti. I numerini li sostituisci tu, ok?

    PS. se ti venisse il dubbio esistenziale che quando scrivi l'equazione per la rotazione sei in un sistema solidale con il centro di massa ma in realta' il centro di massa ha un moto accelerato, tieni presente che le eventuali forze apparenti danno contributo nullo rispetto all'asse passante per il centro di massa.

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.