Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

analisi due massa della curva?

calcolare la massa della curva r(t) = (sen^2 (t) , cos^2 (t) ) con 0<t<1 la cui densità è data dalla legge u (x,y) = u0 (x+y)/ sqr (2x^2 + 2y^2 + 4xy).

Grazie mille...potete spiegarmi il procedimento?

grazie ancora

1 risposta

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  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    L'idea di fondo e' che u rappresenta la funzione "densita' lineare" (in linea di principio dipendente dal punto sulla curva...): ogni tratto "infinitesimo" dl della curva r = r(t) (arco di circonferenza...) ha massa "infinitesima"

    dm = u(rx(t), ry(t)) dl,

    dove rx ed ry sono le 2 componenti della funzione r:

    rx(t) := sen(t)^2

    ry(t) := cos(t)^2

    Quindi la massa della curva e' data dall'integrale (curvilineo di prima specie):

    m = ∫dm = ∫u(r(t)) dl = ∫u(r(t)) ||r'(t)|| dt per t in (0, 1)

    in quanto la lunghezza d'arco "infinitesima" e'

    dl = ||r'(t)|| dt

    In realta' la relazione

    m := ∫u(r(t)) dl (integrale della funzione u sulla curva γ rappresentata parametricamente da r = r(t)...)

    costituisce la DEFINIZIONE di "densita' lineare" u, mentre

    ∫u(r(t)) dl := ∫u(r(t)) ||r'(t)|| dt per t in (0, 1)

    costituisce la DEFINIZIONE "integrale curvilineo di 1° specie della funzione u sulla curva γ (rappresentata parametricamente da r = r(t)...)

    Ora dobbiamo calcolare u(r(t)) e ||r'(t)|| : prima un passaggio intermedio

    u(x, y) := u0 (x + y)/√(2x^2 + 2y^2 + 4xy) =

    = u0 (x + y)/√[2(x^2 + y^2 + 2xy)] =

    = u0 (x + y)/[√2 √(x^2 + y^2 + 2xy)] =

    = u0 (x + y)/[√2 √((x + y)^2)] =

    = u0 (x + y)/[ |x + y| √2]

    u(r(t)) = u(rx(t), ry(t)) = u(sen(t)^2), cos(t)^2) =

    = u0 (sen(t)^2 + cos(t)^2)/[ |sen(t)^2 + cos(t)^2| √2] =

    = u0 1/[√2] =

    = u0/√2

    r'(t) = (2 sen(t) cos(t), -2 cos(t) sen (t)) =

    = 2 sen(t) cos(t) (1, -1)

    ||r'(t)|| = ||2 sen(t) cos(t) (1, -1)|| =

    = |2 sen(t) cos(t)|*||(1, -1)|| =

    = 2 |sen(t) cos(t)| √2

    ∫u(r(t)) ||r'(t)|| dt per t in (0, 1) =

    = ∫(u0/√2) [2 |sen(t) cos(t)| √2] dt =

    = u0 ∫[2 |sen(t) cos(t)|] dt =

    = {sen(2t) = 2 sen(t) cos(t)} =

    = u0 ∫|sen(2t)| dt =

    = {sen(2t) > 0 per t in (0, 1)} =

    = u0 ∫sen(2t) dt =

    = - u0 cos(2t)/2 calcolato tra t = 0 e t = 1

    = - u0 [cos(2) - cos(0)]/2 =

    = u0 [1 - cos(2)]/2

    Ciao.

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