Klelia ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 1 decennio fa

Interpretazione grafica dell' ELLISSOIDE PRINCIPALE DI INERZIA?

Qualcuno sa dirmi compe interpretare graficamente un ellissoide di inerzia? che significa se è più o meno allungato? in quale caso è sferico?!

2 risposte

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  • Anonimo
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Rispondo in modo semplice, in modo da visualizzare immediatamente come l'ellissoide caratterizza l'oggetto, cosa esprime, a cosa serve dal punto di vista pratico.

    E' intuitivo che se abbiamo fra le mani un pallone da calcio, lo possiamo far ruotare come vogliamo, senza evidenti differenze nel comportamento del pallone; se invece abbiamo un pallone da rugby, probabilmente siamo portati a farlo ruotare attorno all'asse passante per le sue "punte", o al massimo attorno ad un asse ad esso ortogonale. Con un pallone da rugby percepiamo differenze anche nella spinta che diamo con le mani, che cambia a seconda di come lo facciamo girare.

    Un pallone da calcio gira indifferentemente su un qualunque asse passante per il suo centro, un pallone da rugby manifesta delle "differenze".

    Un pallone da calcio ha un ellissoide d'inerzia sferico; cosa vuol dire?

    E' ovvio che il raggio di una sfera è sempre lo stesso in ogni direzione; nel caso dell'ellissoide d'inezia sferico, il raggio rappresenta il momento d'inerzia dell'oggetto rispetto all'asse passante per quel raggio in particolare. Ciò significa che se facciamo ruotiare un pallone da calcio rispetto ad un asse passante per il suo centro, l'inerzia da vincere per farlo ruotare è sempre la stessa, perchè è sempre lo stesso il momento d'inerzia.

    Un pallone da rugby invece ha un ellissoide d'inerzia ellittico, con l'asse minore coincidente con l'asse maggiore del pallone; ciò significa che per far girare quel pallone rispetto al suo asse maggiore (l'asse passante per le sue punte) incontrerò un'inerzia inferiore (sarà più facile farlo girare) anzichè farlo ruotare intorno ad un'altro asse. Infatti il raggio che dal centro dell'ellisoide d'inerzia punta verso una delle due punte del pallone, è il raggio più corto dell'ellissoide.

    Ogni oggetto, anche con forma stranissima e complicata, ha un suo ellissoide d'inerzia (calcolabile) centrato nel centro di massa dell'oggetto. Dobbiamo immaginare questo ellissoide incastonato nell'oggetto, un tutt'uno con esso; il centro dell'ellissoide coincide con il centro di massa dell'oggetto.

    Se si conosce l'ellissoide d'inerzia si conosce l'inerzia che si incontra facendo ruotare quell'oggetto intorno ad un certo asse (passante sempre per il centro di massa); infatti il momento d'inerzia è rappresentato dalla lunghezza del raggio che parte dal centro dell'ellissoide e giace sull'asse di rotazione scelto.

    Un ellissoide molto schiacciato o allungato manifesta la proprietà del corpo di poter essere facilmente messo in rotazione intorno all'asse piccolo, mentre manifesta molta più inerzia rispetto ad altri assi (momento d'inerzia massimo intorno all'asse maggiore dell'ellissoide).

  • 1 decennio fa

    L'ellissoide centrale d'inerzia permette:

    - di visualizzare la dipendenza del momento d'inerzia dalla retta per C rispetto a cui si calcola. Infatti, disegnato il diametro parallelo alla retta a

    e detta L una delle intersezioni con l'ellissoide,valutata la lunghezza |CL| del semidiametro, risulta :

    Ia = 1/|CL|^2

    - di visualizzare la direzione del momento angolare Kc del moto attorno a C, conoscendo la direzione del vettore w. Infatti il diametro parallelo a w è l'asse istantaneo di rotazione del moto attorno a C, e il vettore Kc è perpendicolare all'ellissoide nella sua intersezione con l'asse istantaneo di rotazione.

    La geometria analitica insegna che esiste una terna cartesiana con origine in C, rispetto a cui l'equazione si riduce alla "forma canonica"

    (x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1

    Gli assi di tale terna cartesiana si chiamano "assi centrali d'inerzia" e i rispettivi "momenti centrali d'inerzia" sono: A = 1/a^2 ; B = 1/b^2 ;

    C = 1/c^2.

    Si possono presentare le eventualità:

    1) A < B < C . L'ellissoide ha solo tre assi, e ogni altro diametro NON è asse dell'ellissoide.

    2) A = B =/= C. L'ellissoide è rotondo intorno all'asse Z. Ogni diametro perpendicolare a Z è asse.

    Se A = B < C , allora a = b > c e l'ellissoide è schiacciato.

    Se A = B > C , allora a = b < c e l'ellissoide è allungato.

    3) A = B = C. L'ellissoide è una sfera e ogni diametro è asse.

    Molto altro si potrebbe dire, ad esempio sulla individuazione degli assi centrali d'inerzia mediante le eventuali simmetrie del corpo.

    Se sei interessato, contattami.

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