Help..problema di fisica sulle frequenze delle onde?

Question

Due strumenti a corde non sono perfettamente accordati ed emettono il "la" rispettivamente alla frequenza di 439Hz e di 442Hz. L' intensità del suono ascoltato:

1) oscillerà con un periodo di 0.7s

2) oscillerà con una frequenza di circa 3Hz

perché sono giuste queste due affermazioni? potreste illustrarmi tutti i passaggi per arrivare a tali risultati?

Grazie

Answer 1

Risposta preferita

Quando si sovrappongono due suoni di frequenze f1 e f2 di poco diverse, ha luogo il fenomeno dei "battimenti". Il suono risultante ha la frequenza f data da :

f = (f1 + f2)/2

media fra le due frequenze. Nel caso in esame f = 440,5 praticamente indistinguibile da f1 e f2. Mentre l'ampiezza varia nel tempo con la frequenza : (f2 - f1)/2 . L'intensità, che è proporzionale al quadrato dell'ampiezza varia nel tempo con la frequenza fb = f2 - f1 = 3 Hz.

La dimostrazione è : sia Y1 = A sen(k1x - w1t) l'equazione della prima onda e Y2 = A sen(k2x - w2t) quella della seconda. La loro sovrapposizione dà luogo alla perturbazione:

Y = Y1 + Y2 = A{sen(k1 x - w1 t) + sen(k2 x - w2 t)}

utilizza ora le formule di prostaferesi

Y = 2 A{sen[(k1+k2) x/2 - (w1+w2) y/2] cos[(k1-k2) x/2 - (w1-w2) t/2]}

posto k = (k1+k2)/2 e w = (w1+w2)/2

e fissato il punto x in cui si percepisce il suono, ed infine indicando con B = 2A cos[(k1-k2) x/2 - (w1-w2) t/2] , si vede che la perturbazione risultante è:

Y = B sen(kx - wt)

quindi è ancora un'onda

ma la sua ampiezza B , fissato il punto P , e quindi la sua ascissa x, varia nel tempo con pulsazione w' = (w1-w2)/2 quindi frequenza pari alla semidifferenza delle frequenze delle onde che si sovrappongono,

per cui, passando all'intensità, si ottiene che varia nel tempo con la frequenza fb = f1 - f2.

Tieni presente che utilizzando questo fenomeno si accordano gli strumenti musicali.

Answer 2

Il periodo T è il reciproco della frequenza F, cioe' T= 1/f.