eva89 ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

Vettori:basi e generatori.?

Se ,dati tre vettori ,come faccio a dire se costituiscono o no una base di R^3 e se sono generatori?Vi prego aiutatemiiiiiiiiiiiiiiiii!!!

Aggiornamento:

ma mi potresti dare la definizione di generatore?perchè sul mio testo di matematica non è scritta e su internet non riesco a trovarne una di semplice!grazie!

1 risposta

Classificazione
  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    Ti basta verificare che siano linearmente indipendenti: se lo sono, sono automaticamente generatori dello spazio in quanto sono in numero giusto e pertanto costituiscono una base.

    Allora, il metodo più banale per verificare l'indipendenza lineare di tre vettori in R^3 è il determinante, ma sinceramente io sono un ammiratore di Gauss e dunque ti consiglio di applicare il metodo di riduzione a scala. Tra l'altro, è anche il metodo computazionalmente meno dispendioso e più rapido (non sempre, ma quasi :-D)

    Dettagli:

    Si, allora... per generatori si intendono (proprio nel senso letterale del termine) quei vettori che "generano" il sistema di cui fanno parte. Un insieme di vettori si dice sistema di generatori se lo spazio di definizione è dato dallo span di quei vettori, ossia V = span(v1,...,vn).

    Tecnicamente si dice che uno span di vettori linearmente indipendenti genera uno spazio quando sono "in numero giusto, ma non è un concetto che va confuso con l'indipendenza lineare (coincidono solo quando parli di basi, solo poerchè c'è un teorema sotto...).

    Ad esempio, Span{[1,0,0] e [0,1,0]}, pur essendo linearmente indipendenti, non generano IR^3, in quanto appunto ne manca uno.

    Span{[1,0,0], [2,0,0], [0,1,0], [0,0,1]} invece sono un sistema di generatori poichè, pur non essendo tutti linearmente indipendenti, "ci sono tutti" e riescono a generare IR^3: in particolare, lo span del primo (o del secondo), del terzo e del quarto vettore formano una base di |R^3.

    Se non torna qualcosa riscrivi nei dettagli, proverò a chiarire!

    Ciao!

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