Determinare la retta t , proiezione ortogonale di r su π?

Nello spazio cartesiano sia assegnata la retta r di equazioni

r:{2x-y+z=0

{x+2y-1=0

ed il piano: 2x+3y+z-11=0 ; determinare la retta t , proiezione ortogonale di r su π

Svolgere cortesemente tutti i passaggi e scrivere l'equazione in forma cartesiana

2 risposte

Classificazione
  • Gebegb
    Lv 4
    1 decennio fa
    Migliore risposta

    Basta trovare il piano p ortogonale a π e contenente r.

    Intersecando p e π si ottiene la retta desiderata.

    Il vettore ortogonale a un generico piano fx+gy+hz+l=0 è (f,g,h) per cui il vettore ortogonale a 2x+3y+z-11=0 è (2,3,1).

    p deve essere parallelo a (2,3,1).

    Sia p: ax+by+cz+d=0, il suo vettore ortogonale è (a,b,c).

    (a,b,c) e (2,3,1) sono ortogonali perciò hanno prodotto scalare nullo da cui 2a+3b+c=0.

    Sappiamo che p contiene r, quindi p intersecato r coincide con r.

    Questo significa che l'equazione di p è una combinazione lineare delle

    equazioni 2x-y+z=0 e x+2y-1=0.

    Basta annullare i seguenti determinanti:

    2 -1 1

    1 2 0

    a b c

    e

    2 -1 0

    1 2 -1

    a b d

    Adesso abbiamo tre condizioni lineari su a,b,c e d e si può trovare facilmente l'equazione di p.

  • 1 decennio fa

    Sebbene non sia forse il metodo più diretto, avrei svolto anche questo problema considerando la formula della proiezione ortogonale tra vettori.

    Avrei individuato il vettore nominale (n) del piano e il vettore direzionale (d) di r (dopo averla trasformata in forma paramentrica ovviamente). Con un metodo analogo a quello esposto nella risposta all'altra domanda, avrei trovato il vettore proiezione di (d) sul piano (chiamiamolo per esempio (p)).

    Successivamente avrei individuato il punto P, intersezione di r con il piano.

    Avrei così avuto tutte le informazioni per dedurre la forma parametrica di t (passaggio per P e vettore direzionale (p)).

    Dalla forma parametrica si passa alla forma cartesiana con l'eliminazione del parametro t.

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