Come si risolve l'integrale...?

da 2 a infinito di (a^x)/(x) dx?

Come primo passo penso che si debba cambiare l'infinito con un valore arbitrario b e quindi far diventare l'integrale da 2 a b. Ma poi come si procede?

1 risposta

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  • Ste
    Lv 4
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Quello che scrivi è esatto. Dopo aver calcolato la primitiva, basta controllare il limite per b->+inf del risultato.

    In molti altri casi di integrale improprio una primitiva non è calcolabile elementarmente, è solo possibile stabilire se questo converge o no.

    Distinguiamo due possibilità:

    1) a > 1 (la funzione esponenziale tende a +inf per x->+inf).

    Ponendo a^x = t si ha x = log(base a)t = ln(t)/ln(a) ==> dx = [(1/t)*(1/ln(a))]dt.

    Gli estremi di integrazione sono:

    x= 2 ==> t = a^2

    x= b ==> t = a^b

    L'integrale diventa:

    [ln(a)/ln(a)]*int[1/(t*ln(t)]dt (da a^2 a a^b) =

    int[1/(t*ln(t)]dt (da a^2 a a^b).

    Si potrebbe già affermare che quest'ultimo non converge quando b=+inf (l'esponente del logaritmo naturale è ≤ 1) comunque passiamo al calcolo diretto:

    int[1/(t*ln(t)]dt (da a^2 a a^b) =

    int[(1/t)/ln(t)]dt (da a^2 a a^b) =

    ln(ln(t)) |calcolato tra a^2 e a^b ==>

    ln(ln(a^b)) - ln(ln(a^2)).

    Passando al limite per b->+inf si ottiene facilmente ln(ln(+inf)) = ln(+inf) = +inf. L'integrale non converge.

    2) 0 < a < 1 (la funzione esponenziale tende a zero per x->+inf).

    Si effettua la stessa sostituzione:

    a^x = t ==> x = log(base a)t = ln(t)/ln(a) ==> dx = [(1/t)*(1/ln(a))]dt.

    Gli estremi di integrazione sono ancora:

    x= 2 ==> t = a^2

    x= b ==> t = a^b

    L'integrale diventa:

    [ln(a)/ln(a)]*int[1/(t*ln(t)]dt (da a^2 a a^b) =

    int[(1/t)/ln(t)]dt (da a^2 a a^b) =

    ln(ln(t)) |calcolato tra a^2 e a^b ==>

    ln(ln(a^b)) - ln(ln(a^2)).

    Passando al limite per b->+inf si ottiene ln(ln(0)) = ln(-inf) = -inf. Di nuovo l'integrale non converge, era già chiaro per lo stesso motivo del punto 1).

    Si conclude che l'integrale è divergente per qualsiasi valore di a in R (con a > 0).

    A tua disposizione se avessi qualche dubbio :-)!

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