Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

Continuità operatore di derivazione?

Salve.

Non mi è chiaro che si intende per continuità della derivazione.

Prima ho letto che non è continuo, perchè ad esempio, se considero:

f_n (x) = sen(nx)/n

||f_n|| = 0

ma

f'_n (x) = cos(nx)

||f_n|| non esiste.

con la norma della conv. uniforme... (o sup-norma)

La continuità di D va intesa solo in queso senso(cioè su successioni di funzioni)? non anche nel senso che puo' capitarmi che una f sia continua pur non essendolo f'(e poi questa sarebbe continuita' di D??) ?

Mi rendo conto che la domanda sia malposta.... ma non ho capito gran che!

insomma.. dire che D non è continuo che vuol dire?

1 risposta

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  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    Per sommi capi, non metto tutti i puntini sulle i, come si suol dire.

    Per chiedersi se qualcosa è continuo, bisogna che che questo qualcosa sia una applicazione tra spazi topologici. In analisi ci si pone la questione della continuità delle funzioni, perché R e in generale gli R^n si intendono topologizzati con la topologia euclidea (sebbene si diano le definizioni spesso senza citare la topologia stessa, perché essendo R iperstrutturato, si possono trattare i concetti necessari con espressioni manipolabili "coi numeri"). Il caso dell'operatore di derivazione è così fatto: esso è un operatore lineare tra opportuni spazi funzionali, che associa ad una funzione la sua derivata; tali spazi funzionali possono essere topologizzati, e quando lo si fa ci si pone la domanda della continuità del citato operatore. La topologia cui si fa riferimento di solito è la topologia della convergenza uniforme (essa è tale che se una successione di punti dello spazio funzionale è convergente, allora la corrispondente successione di funzioni è uniformemente convergente). In tale contesto l'operatore di derivazione non è continuo, perché con l'esempio che hai fatto tu prende una successione di funzioni uniformemente convergente a 0 e la trasforma in una successione che non converge (quello che hai scritto tu è un po' incasinato, sembra quasi che tu abbia indicato il limite della successione col segno di norma...). Il fatto che esistano funzioni continue non derivabili è tutta un'altra storia.

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