Vettori - basi e generatori?

Mi potete spiegare per favore, magari con qualche esempio, quando i vettori sono generatori e anche quando sono base?? A me sembra tutto uguale...

Grazie mille!!!!

1 risposta

Classificazione
  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    Ti scrivo quattro concetti.

    Un insieme {v(1), v(2), ..., v(n)} di n vettori di uno spazio vettoriale V dicesi "sistema di generatori di V" se ogni vettori di V si può esprimere come loro combinazione lineare.

    Lo spazio vettoriale V generato dai vettori v(1), v(2), ..., v(n) si indica con V= L(v(1), v(2), ..., v(n)) e si dice "finitamente generato".

    Se V è uno spazio vettoriale finitamente generato, si chiama base di V ogni sistema ordinato di generatori di V linearmente indipendenti.

    Condizione necessaria e sufficiente affinchè n vettori di V costituiscano una base è che ogni vettore di V si esprima in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base.

    La dimensione dello spazio vettoriale V, dim V, è pari al numero di vettori di una sua base.

    Naturalmente per capire bene questi concetti devi sapere cosa sono gli spazi vettoriali, cosa è una combinazione lineare e quando i vettori di uno spazio vettoriale si dicono linearmente indipendenti.

    Ora ti scrivo qualche esempio...

    ESERCIZIO N.1

    Dati i seguenti vettori di R^3, stabilire se essi sono un sistema di generatori e, in particolare una base di R^3:

    S: {v(1) = (2, 0, -1) , v(2) = (0, 1, 0), v(3) = (2, -1, -1)}

    v(1) e v(2) sono linearmente indipendenti ma

    v(3) = v(1) - v(2).

    Vediamo se è possibile trovare una coppia di numeri λ(1) e λ(2) tali che:

    v(3) = λ(1)v(1) + λ(2)v(2)

    (2, -1, -1) = λ(1)(2, 0, -1) + λ(2)(0, 1, 0)

    da cui ricavi λ(1) = 1 e λ(2) = -1

    Da ciò possiamo dire che v(1), v(2), v(3) sono un sistema di generatori di R^3 ma non sono una base di R^3

    ESERCIZIO N.2

    Verificare che i seguenti vettori di R^2:

    v(1) = (1, 0) , v(2) = (0, 1)

    sono una base di R^2.

    Basta dimostra che essi sono un sistema di generatori linearmente indipendenti.

    Affinchè siano un sistema di generatori, occorre verificare che il generico vettore v(a,b) di R^2 si possa esprimere come combinazione lineare di v(1) e v(2):

    (a,b) = λ(1)(1, 0) + λ(2)(0, 1)

    λ(1) = a e λ(2) = b da cui si deduce che è possibile trovare due numeri reali λ(1) e λ(2) tali che:

    v = λ(1)v(1) + λ(2)v(2) ;

    dunque v(1) e v(2) sono un sistema di generatori.

    Essi sono linearmente indipendeti quindi costituiscono una base di R^2. Ne segue che la dimensione di R^2 è 2.

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.