sistemi di generatori di spazi vettoriali???

Question

salve sto preparando un esame di algebra lineare e volevo un chiarimento... Come si fa a provare che un insieme di vettori (o di qualunque altro oggetto) è veramente un sistema di generatori dello spazio vettoriale in questione??? Mica posso mettermi a trovare la combinazione lineare di qualunque vettore dello spazio ... Grazie mille e 10 punti al più rapido!

Aggiornamento:

non ho chiesto come fare per vedere se sono linearmente indipendenti, ma come fare per vedere se sono effettivamente un sistema di generatori...e poi quando lo avevamo fatto ancora il determinante delle matrici non lo avevamo fatto

Answer 1

Risposta preferita

potresti prenderli e calcolarci il determinante della matrice... se è diverso da zero allora sono linearmente indipendenti.

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se sono linearmente indipendenti, sono anche un sistema di generatori per lo spazio(e, visto che non era scritta la parola "sottospazio" avevo assunto che lo intendessi nella sua interezza, quindi con la possibilità di farci il determinante).

Dunque... in alternativa.. potresti provare a riscriverli come vettori del tipo (ad esempio se fossero 3 vettori in |R^4):

(1, 0, 0, 0)

(0, 1, 0, 0)

(0, 0, 0, 1)

ovvero provare a vedere se valgono le relazioni(ad esempio nel caso di mostrare che v1,v2,v3 sono una sistema di generatori per |R^3):

1) a* v1 + b*v2 + c*v3 = e1

2) a* v1 + b*v2 + c*v3 = e2

3) a* v1 + b*v2 + c*v3 = e3

ove a,b,c costanti opportune,

ove e1,e2,e3 base canonica.

spero di essere stato chiaro,... e di aver centrato il problema!