tati90 ha chiesto in Matematica e scienzeIngegneria · 1 decennio fa

Base di spazi vettoriali?

cosa vuol dire che B è una base di uno spazio vettoriale solo se B è un sistema minimale di generatori???

non riesco proprio a capire cosa intende per minimale....in ogni caso,potete spiegarmi con parole semplici tutto il concetto?grazie!

2 risposte

Classificazione
  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    quoto la risposta di Colui che vuole sapere: "una base di |R^2 è costituita da due vettori di modulo unitario e ortogonali tra loro.": FALSO!!

    non necessariamente devono essere in modulo unitario e ortogonali tra loro per creare una base!!!:

    <(1,3),(-7,12)> è una base di R2!!! generano tutto lo spazio vettoriale e sono linearmente indipendenti!!!

    i generatori sono insiemi di vettori che costruiscono uno spazio vettoriale. un esempio di insieme di generatori per generare R2 è:

    {(1,0),(0,1),(1,1),(3,7)}

    è chiaro però che anche l'insieme dato da

    {(1,0),(0,1),(1,1)} genera tutto R2, quindi è comunque un insieme di generatori.

    Se prendi un numero di generatori MINIMALE, ovvero, un numero minimo possibile di generatori avrai una base. nell'esempio di prima, un insieme minimale di generatori è {(1,0),(0,1)} che è una base di R2

    o anche {(1,0),(1,1)}

    ovvero: una base è un insieme con il minore numero di vettori che generi tutto lo spazio vettoriale.

    passando alla definizione vera e propria:

    Def: sia V uno spazio vettoriale su campo K, l'insieme di vettori B è una base di V se:

    1) i vettori di B generano tutto V;

    2) i vettori di B sono linearmente indipendenti.

    da questa definizione se ne scaturisce la relazione da te detta, in quanto, se si ha un insieme di generatori, e si tolgono tutti quelli linearmente dipendenti, si ottiene un insieme di generatori con il minor numero di elementi possibile. è questo il significato di minimale.

    spero di essere stato chiaro...

    buone vacanze

    Fonte/i: Algebra Lineare e Geometria ingegneria, università di padova
  • Anonimo
    1 decennio fa

    Beh, vuole dire che una base è costituito dal più piccolo numero di vettori linearmente indipendenti dai quali vengono generati tutti gli altri.

    Ad esempio, una base di |R^2 è costituita da due vettori di modulo unitario e ortogonali tra loro. Bastano solo questi due vettori per generare tutti gli altri.

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