Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

generatori???????????????????????????????????????????

sia G=(Z/11Z)*x(Z/13Z)*. La coppia ([2]mod 11,[2]mod 13) genera G? Scrivere il gruppo abeliano G come prodotto diretto di gruppi ciclici di ordine potenza di un primo.

1 risposta

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  • 1 decennio fa
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    Ciao, la risposta alla tua prima domanda è no. Infatti [2] mod 11 è un generatore di (Z/11Z)*, quindi ha periodo 10 lì dentro, e pure [2] mod 13 è generatore di (Z/13Z)*, quindi ha periodo 12. L'elemento ([2], [2]) (se non c'è rischio di confusione da qui in avanti eviterò di scrivere modulo che cosa) avrà quindi periodo che è il minimo comune multiplo tra i due periodi, cioè ord(([2], [2])) = mcm(10, 12) = 60 (in altre parole il gruppo H generato da ([2], [2]) ha 60 elementi). G invece ha 120 elementi. Quindi ([2], [2]) non può essere un generatore.

    Ora passiamo alla seconda parte della domanda. Qui io procederei così: siccome G è dato come prodotto di gruppi ciclici, cercherei di decomporre ciascuno di essi in un prodotto di gruppi ciclici con ordine potenza di un primo, per poi rimettere tutto insieme alla fine ed ottenere la scomposizione richiesta per G.

    Partiamo con (Z/11Z)*: ha ordine 10 ed è generato da [2]. Se è isomorfo al prodotto di due gruppi ciclici con ordine potenza di un primo questi dovranno essere per forza Z/2Z e Z/5Z (dato G = HxK allora |G| = |H||K|, dato che 10 = 2*5 quella è l'unica scelta possibile). Ora, esiste un isomorfismo da (Z/11Z)* in (Z/2Z)x(Z/5Z)? La risposta è sì, è quello che manda [2] in ([1], [1]), dato che entrambi hanno periodo 10 ([2] in (Z/11Z)* perchè è generatore, la verifica ti porta via un minuto, ([1], [1]) perchè il suo periodo è il minimo comune multiplo tra 2 e 5, che è appunto 10) in due gruppi di ordine 10.

    Con (Z/13Z)* stesso discorso: ha 12 elementi, 12 = 3*4, quindi sarà isomorfo a (Z/3Z)x(Z/4Z) mediante l'isomorfismo che manda [2] in ([1], [1]) (valgono tutte le considerazioni di prima).

    In definitiva quindi G risulta essere isomorfo a (Z/2Z)x(Z/5Z)x(Z/3Z)x(Z/4Z), prodotto di gruppi ciclici di ordine potenze di primi.

    Spero di esserti stato d'aiuto. Nel caso ti servissero chiarimenti non esitare a contattarmi. Ciao!

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