Carmelo88 ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

Esercizio sullo spazio vettoriale e generatori?

Nello spazio vettoriale R^5, sia F = { (1,0,1,0,0),(1,-1,2,1,0) quale il numero di vettori linearmente indipendenti che si possono aggiungere ad F per ottenere un sistema di generatori di R^5

Vi prego di risolvere questo esercizio con tutti i passaggi in modo da capirne lo svolgimento

1 risposta

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  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    Ciao, dunque, un sistema di generatori di uno spazio vettoriale V è semplicemente un sottoinsieme S di V tale che ogni vettore di V si può scrivere come combinazione lineare di elementi di S. Una base è un sistema minimale di generatori, e si dimostra che essi sono linearmente indipendenti e che il loro numero uguaglia la dimensione di V. Inoltre ogni sistema di generatori contiene una base ed ogni base è anche un sistema di generatori. Passiamo ora al tuo esercizio: F contiene due vettori tra loro linearmente indipendenti (basta vedere come sono messi gli 0, se poni a(1, 0, 1, 0, 0) + b(1, -1, 2, 1, 0) = (0, 0, 0, 0, 0) vedi che la sola possibilità è avere a = b = 0, che prova la lineare indipendenza), una base ne deve contenere 5, un sistema di generatori almeno 5, dato che 5 è proprio la dimensione di |R^5. Quindi il numero minimo di vettori linearmente indipendenti da aggiungere ad F per ottenere un sistema di generatori è 3, mentre quello massimo è 5 (questo perchè più di 5 vettori in uno spazio vettoriale di dimensione 5 sono sempre linearmente dipendenti).

    Spero di esserti stato d'aiuto. Nel caso contattami pure senza problemi. Ciao!

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