Erjon ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

vorrei chieder da qualcuno le approssimazioni del resto di lagrange di vari funzioni, non lo trovo ...?

sono aprossimazioni standard che aiutano nel calcoli.

1 risposta

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  • prete
    Lv 6
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Lo sviluppo di Taylor con resto di Lagrange ti permette con facilità di valutare anche numericamente l'errore della tua approssimazione con Taylor.

    Il link a pag. 4 in alto ti mostra la formula di Taylor con resto di Lagrange (non la copio perché è complicata. Guarda la formula sul link!).

    La prima riga è il polinomio di Taylor di ordine n. La seconda riga è il resto espresso nella forma di Lagrange.

    Il termine "incognito" di questo resto è il valore della "c" che compare come argomento della derivata (n+1)esima. Siccome in generale è incognito, quello che puoi fare è scegliere un intervallo, che tipicamente è limitato, in cui sei sicuro che la derivata assuma un valore limitato. E qui, su questo intervallo, costruirti una maggiorazione per la derivata (n+1)esima in modo che sei sicuro che, qualsiasi sia il valore di "c", il tuo resto sia minore di qualcosa.

    Ti faccio un esempio che è più facile. Prendi sin(x) e sviluppalo intorno ad un generico punto.

    La derivata di qualsiasi ordine è facile da calcolare:

    d sin(x) /dx = cos(x)

    d^2 sin(x) /dx^2 = -sin(x)

    d^3 sin(x) /dx^3 = -cos(x)

    d^4 sin(x) /dx^4 = sin(x)

    ...

    Supponiamo ora di sviluppare intorno ad x0 con x0 = 0 per semplificarci la vita (ma in generale puoi scegliere un qualsiasi x0).

    Lo sviluppo con Taylor ti dice che:

    sin(x) = x - x^3/6 + sin(c)/24 . x^4

    I primi due addendi sono lo sviluppo standard. L'ultimo addendo è il resto di Lagrange. Se lo indichiamo con L(x):

    L(x) = sin(c)/24 . x^4

    Possiamo scrivere:

    | L(x) | = | sin(c)/24 . x^4 | = | sin(c) | . | x^4/24 | ≤ | x^4/24 |

    Stop.

    Questa maggiorazione del resto di Lagrange ti serve quando fai una stima numerica della tua approssimazione. Ad esempio se vuoi calcolare sin(1/2), scrivi:

    sin(1/2) = 1/2 - 1/48 + L(x) = 23/48 + L(x)

    Dove sai che

    | L(x) | ≤ | 1/16.1/24 | = 1/384 = 0,002604167...

    Dunque la tua stima di sin(1/2) è 23/48 con un errore massimo di 0,00261.

    Il resto di Lagrange si usa anche per calcolare limiti molto complessi, laddove ti viene comodo sviluppare in serie un qualche termine e accantonare con una maggiorazione il resto, ad esempio perché devi studiare una convergenza di un integrale improprio. Se non sono cose che fai abitualmente, dimentica quest'ultimo paragrafo.

    Era quello che volevi sapere? Se ti servono funzioni specifiche, fammi sapere. Non mi risulta che il resto di Lagrange in generale sia tabulato, anche perché dipende moltissimo dall'applicazione specifica: a quale ordine sviluppi, in quale intervallo, per quale scopo. Quindi mi sa che ti tocca calcolartelo a mano, magari appoggiandoti agli sviluppi noti dei polinomi di Taylor...

    Ciao!

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