incidenza tra retta e curva?

Question

dato un fascio di rette proprio io so studiare l'incidenza delle rette con una curva quadratica,ma se c'è una curva di grado 3,come si fa?

con curva quadratica analizzando il delta capisco i punti d'intersezione,ma con le cubiche?

Aggiornamento:

esempio:

ho la curva:

y=x^3

e il fascio di rette:

y=m(x-5)

come faccio a vedere per quali valori di m la retta del fascio è tangente in un solo punto,per quali valori in due punti ecc ecc

Answer 1

Risposta preferita

La curva di terzo grado generalizza i concetti che già conosci.

La teoria insegna che una retta ed una curva di terzo grado HANNO 3 SOLUZIONI,. La teoria insegna ancora che:

1- UNA SOLUZIONE ESISTE SEMPRE

2- LE ALTRE DUE SOLUZIONI possono presentarsi nei 3 casi che già conosci:

due soluzioni reali distinte... = due intersezioni

due soluzioni reali coincidenti . . = punto di tangenza

due soluzioni IMMAGINARIE . . = nessuna intersezione

se traduciamo questo dal punto di vista grafico e descrittivo... significa che:

una cubica HA SEMPRE UNA INTERZEZIONE CON L' ASSE X (ed anche con qualsiasi retta generica del piano)

PUO' avere eventualmente altre 2 intersezioni sempre con l'asse x o con qualsiasi retta generica.

vediamolo ancora da un altro punto di vista: algebrico.

UN POLINOMIO DI TERZO GRADO P3(x) SI SCOMPONE SEMPRE IN UN POLINOMIO DI PRIMO GRADO... PER UN POLINOMIO DI SECONDO GRADO.

iL POLIMONIO DI PRIMO GRADO ASSICURA SEMPRE LA ESISTENZA DI UNA SOLUZIONE ALLA EQUAZIONE P3(X)=0... il polinomio di secondo grado, in base al suo DELTA... può portare due soluzioni reali (eventualmente coincidenti) oppuire nessuna soluzione reale.

puoi esaminare questi polinomi semplici: (te li scrivo ovviamente già scomposti)...

y = x³ - x² . . x (x²-1) ha 3 soluzioni reali: 0, -1, +1

y = x³ + x² . . x (x²+1) ha 1 sola soluzione reale

Il tuo esempio... y=x³ ha addirittura 3 soluzioni coincidenti...