Un blocco di legno da 0,620Kg è saldamente attaccato a una leggerissima molla orizzontale (k=180N/m).?

il sistema molla-blocco, quando viene compresso di 5,0cm e poi rilasciato, supera di 2.3 la posizione di equilibrio prima di fermarsi e tornare indietro.

qual è il coefficiente d'attrito dinamico tra il blocco e il tavolo?

MIO RAGIONAMENTO:

1/2mv^2 + 1/2 kx^2 = 1/2mv" + 1/2 kx^2 + Fatt * d dove Fatt è coeff * Fn

ma non avendo velocità e massa come fare?

1 risposta

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  • 10 anni fa
    Migliore risposta

    Ciao.

    Bellissimo problema. Non so se sia dovuto al fatto che sono parecchio arrugginito visto che non faccio fisica da diversi anni, ma questo problema mi sembra davvero interessante.

    Provo a risolverlo un po' "su due piedi", mostrando passo per passo il mio ragionamento.

    A mio parere, non è necessario avere altri dati oltre quelli già a disposizione. Da ragionamento, la velocità è comunque dipendente dai dati forniti nel problema, e quidni essendo un parametro dipendente non aggiungerebbe comunque nulla, in quanto come tale è ricavabile.

    Detto ciò, proviamo a risolverlo applicando la conservazione dell'energia (questo è uno dei pochi concetti che restano per sempre impressi inella mente, al di là del periodo di inattività).

    Chiamiamo "x" la distanta di 5 [cm] dalla quale parte in nostro esercizio, e "y" la distanza di 2.3 [cm] che la molla percorre dopo l'espansione oltre la posizione di equilibrio "o".

    Dividiamo ora il problema in due parti: la parte in cui la molla accelera la massa, e la parte in cui la molla la decellera.

    ACCELERAZIONE:

    Durante la prima fase del problema, sono due gli agenti che compiono lavoro sulla massa. Da una parte, vi è il lavoro compiuto dalla molla e dall'altra il lavoro compiuto dall'attrito. Il lavoro compiuto dall'attrito va sottratto a quello compiuto dalla molla in quanto la forza d'attrito agisce in verso opposto. Quando il corpo raggiunge il punto "o", possiede una energia cinetica "Ec" pari al lavoro compiuto dalla molla "Wm1" meno il lavoro compiuto dall'attrito "Wa1".

    Ec = Wm1 - Wa1

    Come è ben noto, la forza che una molla sprigiona è pari al prodotto tra l'allungamento e la costante "k" della molla stessa. La difficoltà è, quindi, che la forza che la molla imprime al corpo non è costante ma bensì varia al variare dell'allungamento.

    Nel caso della molla, tuttavia, vista la particolarità della funzione (la forza generata è rappresentata da una linea obliqua passante per l'origine in un grafico "k" e "allungamento") è facile capire che la media della forza è esattamente pari alla metà della forza che la molla imprime nel momento di massimo allungamento (in posizione "X"). Comunque, dimostriamolo matematicamente e facciamo finta di non conoscere questa caratteristica.

    Ricordiamo che il lavoro è definito come la forza applicata su un corpo moltiplicata per lo spostamento. La forza istantanea "Fi" è, come detto, pari a { Fi = k*Li ) dove "Li" è l'allungamento caratteristico del punto "i" in cui si ha una forza "Fi". Integrando la forza in dL otteniamo di fatto il lavoro.

    Quindi, il lavoro compiuto dalla molla è pari all'integrale di Fi in dL definito nell'intervallo "x->0". Ciò perchè l'allungamento massimo che consideriamo è "x", e questa parte del problema prevede di analizzare ciò che accade solo fino al punto "o" dove L = 0.

    Wm1 = integrale(k*L dL) = k* integrale(L dL) = k*(1/2)*L^2

    Risolviamo l'integrale, stremandola da "x" a 0. Per semplicità, invece di "x" sostituisco direttamente il numero (2.3[cm] = 2.3*10^(-2)[m] ):

    Wm1 = (1/2)*k*2.5*10^(-3)

    Il lavoro compiuto dall'attrito "Wa1" è semplice da calcolare, ed è pari al prodotto di "Fa" per la lunghezza "x":

    Wa1 = Fa*x

    A questo punto, sostituendo, otteniamo che:

    Ec = Wm1 - Wa1 = (1/2)*k*2.5*10^(-3) - Fa*x

    Di questa equazione abbiamo due incognite: Ec e Fa. Ma nessun problema, continuiamo, passando alla seconda parte del problema, e cioè a ciò che accade oltre il punto "o" fino al momento in cui il corpo si ferma.

    DECELLERAZIONE

    Passando "o", la molla inizia a compiere un lavoro "Wm2" che ha lo stesso segno del lavoro compiuto dall'attrito "Wa2", in quanto le loro forze hanno lo stesso verso. Il corpo si fermerà quando avrà esaurito la sua energia cinetica EC guadagnata durante l'accelerazione. Quindi possiamo dire che:

    Ec = Wm2 + Wa2

    Calcoliamo il lavoro della molla con lo stesso stratagemma usato nella fase di accelerazione, quindi integriamo:

    Wm2 = integrale( k*L dL) = k* integrale( L dL ) = k*(1/2)*L^2

    Stremiamo l'integrale da 0 a "y", per comodità sostituirò direttamente il valore di "y":

    Wm2 = (1/2)*k*5.29*10^(-4)

    Il lavoro compiuto dall'attrito, invece, sarà:

    Wa2 = Fa*y

    Sostituiamo all'equazione iniziale, ottenendo:

    Ec = Wm2 + Wa2 = (1/2)*k*5.29*10^(-4) + Fa*y

    UNIFICAZIONE DEL PROBLEMA

    A questo punto, siamo riusciti a ricava due equazioni in due incognite:

    Ec = (1/2)*k*2.5*10^(-3) - Fa*x

    Ec = (1/2)*k*5.29*10^(-4) + Fa*y

    Poniamo in eguaglianza le due equazioni e facciamo i passaggi algebrici del caso.

    (1/2)*k*2.5*10^(-3) - Fa*x = (1/2)*k*5.29*10^(-4) + Fa*y

    (1/2)*k*25*10^(-4) - (1/2)*k*5.29*10^(-4) = Fa*x + Fa*y

    (1/2)*k*19.71*10^(-4) = Fa*(x+y)

    Ricaviamo Fa:

    Fa = ( 19.71*10^(-4)*k ) / ( 2*(x+y) )

    Fa = m*g*Ca

    Quindi:

    Ca = Fa /(m*g)

    Sostituiamo:

    Ca = ( ( 19.71*10^(-4)*k ) / ( 2*(x+y) ) ) / (m*g) = ( 1.971*10^(-3) *k ) / ( 2*(x+y)*m*g )

    A questo punto abbiamo la formula risolutiva. Sostituiamo i dati del problema, ottenendo:

    Ca = (1.971*10(^-3) *180 ) / ( 2*(5+2.3)*10^(-2)*0.62*9.807 ) = 0.4

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