Come si calcola il dominio di un integrale?

Question

∫ ∫ y^3 dx dy

D={(x,y)∈R: 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4 , |y| ≤ x}

Come si fa a calcolare gli estremi dell'integrale? Per l'integrazione vera e propria non ho problemi.

Qualcuno è così gentile da potermelo spiegare? Anche in maniera molto spicciola!!! =)

Grazie anticipatamente...Ciao!!!

Ps: ho inserito un esercizio...ma va bene qualsiasi altro esempio simile che possa farmelo capire!!!

Aggiornamento:

Grazie Marco per la tua risposta...ma in pratica come faccio a calcolare gli estremi dell'integrale per poi svolgerlo?

Aggiornamento 2:

Cristina se mi scrivessi pure quello mi faresti un enorme favore...grazie =)

Answer 1

Risposta preferita

Il dominio

1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4

è una corona circolare di raggio interno 1 e raggio esterno 2

l'ulteriore limitazione

|y| ≤ x}

sono le semirette bisettrici dei 4 quadranti uscenti da O nella regione di piano delle x positive.

La via più breve è il passaggio in coordinate polari con dominio

-π/4 ≤ θ ≤ π/4

1 ≤ ρ ≤ 2

Ma forse più delle parole serve un'immagine (anche se fa pena ma di meglio non riesco a fare)

http://www.naxa.it/cri/ya/cr10.jpg

Se non sai come passare in coordinate polari scrivilo che metto una semplice spiegazione.

Ciao.

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poni

y = ρ·sin(θ)

x = ρ·cos(θ)

la matrice Jacobiana della trasformazione è

| cos(θ)  -ρ·sin(θ) |

| sin(θ)    ρ·cos(θ) |

il cui determinate vale ρ (per approfondimenti

http://macosa.dima.unige.it/mat/calculus/jacob.htm )

Con questa trasformazione il tuo integrale diventa

INT ρ^4·sin(θ)^3 dρdθ

con

-π/4 ≤ θ ≤ π/4

1 ≤ ρ ≤ 2

integrando rispetto a θ il risultato sarà 0, (non c'è nemmeno bisogno di calcolare l'integrale, sin(θ)^3 è dispari) e l'integrale doppio avrà valore 0, si annullano i contributi dei volumi negativi e positivi.

Ciao :)

Answer 2

Si può integrare solo una funzione continua sul dominio... (ovvero una funzione definita a tratti su R non può essere integrata) Quindi il dominio di un integrale è dove la funzione è definita...