Mark Renton ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 1 decennio fa

Come si calcola il peso massimo che può sostenere un tavolo in legno con 4 gambe?

Come si fa sapendo il peso che c'è sopra ad un tavolo, a calcolare se il tavolo regge tale peso? Diciamo che i dati in mio possesso sono: il peso che ho sul tavolo (inteso come uniformemente distribuito su tutta la superficie del tavolo), la superficie del piano di carico, il diametro, la lunghezza delle gambe, la distanza tra di esse. Immagino che ogni materiale avrà un coefficiente di carico o simile....

1 risposta

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  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    Dunque, se non ricordo male come si risolve un problema di questo ti mancano dati, non si risolve con un coefficiente di carico (Ah! magari fosse così!) e la forza và esprezza come Momento flettente.

    Solitamente si lavora su sezioni trasverali e si estrapola un "coefficiente di resistenza" della struttura, da cui poi si estrae il carico massimo che puoi applicare alla struttura.

    Ovviamente tu hai disegnato la tua bella sezione trasversale (tagli il tavolo come se fosse un salame, diciamo al centro e in corrispondenza del diametro di 2 gambe) e scelto un asse x di riferimento puramente a piacere. Le 2 sezioni estreme sono identiche, quella centrare altro non è che un rettangolo di spessore uguale allo spessore del tavolo propriamente detto (ipotizziamo che non ci siano rinforzi, ma solo le gambe e il tavolo). Bene ora quello che hai è una sezione con 3 rettangoli (due cilindri sezionati e il tavolo) e una con un rettangolo (il tavolo). Dividi la prima sezione in 3 rettangoli che chiami 1, 2 e 3. e fai una bella tabella con scritto come righe 1, 2, 3 e tot e come colonne A, Sx, Yg, Ix

    Bisogna introdurre due concetti adesso, il momento statico di massa (Sx) e il momento di Inerzia (Ix), il primo è uguale al prodotto della sezione per la distanza dal suo baricentro all'asse di riferimento, il secondo (che rappresenta la "resistenza" del corpo alla rotazione, ma prendi questa definizione con le pinze) è analitico e dipende dalla forma della sezione.

    Bene tornando alla sezione si calcolano le aree dei rettangoli e il loro baricentro.

    Piccolo esempio, un rettangolo di base 5cm e altezza 80cm ha area 400cm^2, immaginiamo di aver posto il riferimento lungo la base, bene il baricentro del rettangolo disterà dall'asse di riferimento 40cm (h/2) ovviamente ipotizzando che il materiale sia omogeneo etc... il momento statico del rettangolo in questione sarà di 400cm^2*40cm=16000cm^ (ma non è un volume)

    Si mettono i valori in tabella e si sommano le aree e i momenti statici (per fortuna si hanno solo 3 valori) ecco qui hai un passaggio chiave, il rapporto tra la sommatoria degli Sx e la sommatoria della Aree (Sxtot / Atot) è uguale a Yg, ovvero alla coordinata Y del baricentro del tavolo (vedi? ora sai calcolare il baricentro di una figura formata da rettangoli, triangoli etc uniti).

    Salterà subito all'occhio che il baricentro non sarà a 40 (se il tavolo è alto 80 cm) ma sarà più in alto visto che il tavolo(propriamente detto) "Tira" verso di sè il baricentro, dato che ha una massa.

    Il passaggio successivo è calcolare i momenti di inerzia, e qui si piange... il momento di inerzia dipende dalla forma geometrica che stai trattando e dall'asse che utilizzi per il calcolo.

    Es. hai un rettangolo, attraversato da 2 assi, X ed Y, i quali lo dividono in 4 rettangolini, se consideri il momento di inerzia rispetto all'asse X allora hai come formula per il rettangolo (b*h^3)/12 se il tuo asse x coincide con la base allora dividi per 3 invece che per 12... se lo vuoi calcolare rispetto all'asse Y sarà (b^3*h)/12.

    Adesso però c'è un problema, queste formule danno l'inerzia del rettangolo rispetto al suo asse baricentrico che però non è quello della sezione e allora applicando il teorema del trasporto sommi ad ogni inerzia l'area del rettangolo in questione moltiplicata per il quadrato della differenza della cordinata baricentrica (cioè se dal baricentro della figura al baricentro della sezione ho 5 cm farò A*(5^2) )

    Trovati tutti i momenti di inerzia li sommi e otterrai Ix tot.

    Bene, ipotizzando che tu conosci il valore del momento flettente in N*mm lo dividi per il tuo Ix tot( in mm^4) il rapporto M/Ixtot ti dà il così detto Sigma , ovvero il coefficiente di resistenza a flessione in N/mm^2 trovato sigma hai finito.

    Prendi il valore di Sigma e lo dividi per un numero che và da 2 a 4 se il tuo tavolo è sottoposto a sforzo statico (posi il peso lì e lo lasci li) un numero che và da 4 a 10 se lo sforzo e dinamico (il tuo peso lo butti sul tavolo a ripetizione). Quello che viene fuori è il Sigma ammissibile, ovvero il coefficiente di resistenza a flessione ammissibile per la sicurezza, Da un manuale di ingegneria o da internet controlli che coefficiente di resistenza a flessione ha il legno del tavolo (sono in tabelle) e se quello da te trovato è minore di quello massimo in tabella allora il tavolo resisterà al peso applicato altrimenti non resisterà e dovrai aumentarne lo spessore.

    Sto pensando solo ora che le gambe sono inunfluenti, credo, ai fini dell'esercizio.

    Per quando riguarda la conoscenza del peso massimo sostenibile parti dal coefficiente di resistenza a flessione tabellato massimo e risolvi l'equazione

    Esempio con numeri finti... coefficiente di resistenza a flessione(cRf = 4) Inerzia totale (Ix=2) Momento flettente(Mf=?)

    4= x/2 -> x=2*4=8, Il massimo momento flettente ammissibile è 8 Nmm

    A conti fatti quando avrai l'inerzia totale della struttura e starà a te decidere se prende

    Fonte/i: Sono un perito costruttore navale, la resistenza delle strutture è stato il mio pane quotidiano, purtroppo non con semplici rettangoli ma con travi a bulbo, a T, Doppia T, forate, ad I, squadre, lamiere, etc...
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