Calcolare il momento di inerzia nel discreto. Mi spiegate come si fa?

Devo calcolare il momento di inerzia di una barra rettilinea dividendola in 3 parti.

Dovrebbe venire:

I = (35/108 )*ML^2

Io ho fatto così:

I = 2 * M/3 * [ (L/6)^2 + (L/3)^2 ]

ma esce fuori 10/108 e non 35/108.

Potete dirmi cosa sbaglio? Grazie

Aggiornamento:

Divisione della barra in 3 parti uguali. Il momento di inerzia è calcolato rispetto ad una sua estremità.

Spero di NON usare l'ellissoide di inerzia.

Aggiornamento 2:

Nel continuo, cioè facendo l'integrale , viene (ML^2)/3

Ma nel discreto viene (35/36) (ML^2) / 3

.

Io intendevo la lunghezza di tutta la barra lunga L.

Mi spieghi gentilmente come capisco quali sono gli assi di simmetria di un corpo rigido?

Aggiornamento 3:

Il risultato è del libro di teoria - esercizi.

Voleva fatto il calcolo sia nel discreto dando come risultato (35/108) ML^2 e poi nel continuo (ML^2) / 3.

Ho capito la tua spiegazione. Quindi lungo gli assi di inerzia non varia il momento angolare?

Aggiornamento 4:

Il libro è inglese - americano:

"Introduction to mechanics, matter and waves" - Uno Ingard, William Kraushaar.

E' in inglese ed è fuori produzione. E' del 1960. Lo puoi trovare solo di seconda mano.

In più uso anche il Mazzoldi,Nigro,Voci Fisica 1

Tu che libro usi invece?

2 risposte

Classificazione
  • 9 anni fa
    Migliore risposta

    Tranquillo, chiamare in causa l'ellissoide d'inerzia per poter risolvere questo problema sarebbe come voler uccidere una mosca con un cannone. =)

    Sei sicuro che debba venire quel risultato lì? Io sinceramente credo che debba venirti lo stesso risultato di una sbarra omogenea normale ( 1/3ML²), perchè il momento di inerzia di una sbarra omogenea considerata in "tutt'uno" o considerata come tre pezzi separati è la stessa cosa, essendo il momento di inerzia additivo.

    Utilizziamo il Teorema di Huygens - Steiner:

    I_tot = Σ (I_z) + Σ (MR²)

    Il momento di inerzia di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse parallelo ad uno degli assi principali di inerzia è uguale al mom. di inerzia calcolato nell'asse passante per il CdM sommato alla quantità MR², dove R è la distanza del CdM del corpo rispetto l'asse di rotazione.

    Consideriamo i giusti CdM: se la sbarra è divisa in 3 parti uguali ognuna di massa M/3 ed omogenea, il CdM del primo terzo di sbarra sarà situato a metà di essa e uindi a distanza 1/6L; il CdM del secondo terzo di sbarra sarà esattamente ad 1/2L (ovvero compreso tra L/6 ed L/3, che sono gli ESTREMI della sbarra ma non il CdM) e il CdM dell'ultimo pezzo di sbarra ad una distanza di 5/6L. (forse a parole è poco chiaro; ma se fai un disegno, dovresti accorgertene subito)

    Il mom. di inerzia di una sbarra roteante attorno ad un asse perpendicolare alla sua lunghezza e passante per il CdM sappaimo essere 1/12ML².

    L'unico problema è che nella tua domanda non hai precisato se ogni pezzo della sbarra è lungo L, o se la sbarra intera è lunga L. Assumiamo che tutta la sbarra (somma deo tre segmenti) sia lunga L, e pesi M.

    Detto questo, applichiamo il teorema:

    Calcoliamo prima i momenti di inerzia rispetto gli assi di simmetria (1° parte del teorema):

    I_z_tot = [ 1/12*(M/3)*(L/3)² +1/12*(M/3)*(L/3)² +1/12*(M/3)*(L/3)² ] = (1/108)ML²

    Calcoliamo i momenti di inerzia rispetto l'asse di rotazione parallelo all'asse del CdM (2° parte del teorema):

    Σ (MR²) = [ M/3*(L/6)² + M/3*(L/2)² + M/3*(5L/6)² ] = (35/108)ML²

    Sommiamo le due quantità, in virtù del fatto che il momento di inerzia, come già detto, è additivo:

    I_tot = (1/108)ML² + (35/108)ML² = (36/108)ML² = 1/3ML²

    che è esattamente il momento di inerzia di una sbarra omogenea di lunghezza L e massa M vincolata ad uno dei suoi estremi.

    Se ho capito male la domanda, aggiungi dei dettagli =)

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    Gli assi principali di inerzia sono tre assi particolari dove non si verifica l'effetto di precessione del momento angolare se il corpo ruota attorno ad essi. Nel caso di corpi "regolari", e chiaramente omogenei, questi assi coincidono con gli assi di simmetria del corpo stesso: ad esempio, in un cilindro l'asse passante per il centro della circonferenza di base ed ortogonale ad essa e i due assi passanti per il baricentro.

    Comunue: il risultato che riporti l'hai preso da qualche eserciziario?

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    Il momento angolare per un corpo rigido in rotazione in generale è espresso come:

    L_tot = L┴ + I_z*ω

    se il corpo ruota attorno ad uno degli assi preferenziali di inerzia, il momento angolare perpendicolare si annulla e hai

    L_tot = I_z*ω

    ovvero il momento angolare dipende esclusivamente dalla velocità angolare.

    Non sono ancora convinto per l'esercizio però.. forse mi sfugge qualche ipotesi sul continuo..

    *mi diresti anche che libro di fisica usi? giusto per curiosità

    eheheh.. anch'io ho il Mazzoldi. la bibbia!!

  • 9 anni fa

    Mi dispiace, io faccio l'ultimo anno di liceo e anche se me ne intendo un pò di fisica, su queste cose non saprei proprio dove mettere mano. Mi dispiace ciauzzz

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