Dimostrazione di limite?

Question

Sapete dimostrarmi questo limite?

Lim rad[1+(4/x)] = 1

x-->infinito

Answer 1

Risposta preferita

la dimostrazione si rifà alla definizione:

scelto un epsilon e > 0, esiste un M > 0

tale che per ogni | x | > M allora | radq(1 + 4/x) - 1 | < epsilon .

Dimostrarlo significa scegliere un epsilon e vedere che si trova il corrispondente M .

Quindi è una disequazione con il modulo:

| radq(1 + 4/x) - 1 | < e

che diventa:

1 - e < radq(1 + 4/x) < 1 + e

Questo è un sistema di due disequazioni: vediamo la prima

1 - e < radq(1 + 4/x)

che è una disequazione irrazionale; escludendo il caso (poco interessante) di e > 1

(è poco interessante perchè si fa in modo che sto epsilon sia piccolo, sennò che limite è??)

si risolve con le regole delle disequazioni irrazionali:

(1 - e)^2 < (1 + 4/x) , purchè sia x < - 4 ( e anche x > 0 , ma lo consideriamo dopo);

si risolve e si trova 4/x > (1 - e)^2 - 1

da cui : x < 4/[(1 - e)^2 - 1] < 0

e si vede che tanto più è "piccolo" epsilon "e", tanto più il denominatore tende a zero (da sinistra) e quindi "basta prendere" M1 < 4/[(1 - e)^2 - 1] .

Questo dimostra il limite per x che tende a meno infinito.

Per x che tende a più infinito si guarda l'altra disequazione:

radq(1 + 4/x) < 1 + e ; che ha senso solo per x > 0, ma così è il nostro caso:

(1 + 4/x) < (1 + e)^2

da cui si ricava :

x > 4/[(1 + e)^2 - 1] > 0

e quindi basta prendere M2 = 4/[(1 + e)^2 - 1] per avere rispettato la condizione del limite per x che tende a più infinito.

Se si vuole utilizzare un solo M, che vada bene sia per più infinito che per meno infinto, basta prendere il maggiore fra i due in valore assoluto.

Answer 2

devi partire da:

|rad[1+(4/x)] -1|< epsilon ( che chiamerò e per comodità)

questa si spezza nel sistema :

rad[1+(4/x)] < e+1

rad[1+(4/x)] > -e+1

queste sono entrambe due disequazioni irrazionali, ma poichè sia e+1 che -e+1 sono quantità positive (e è un numero positivo molto piccolo) non abbiamo bisogno di ipotesi su di esse, mentre per entrambi i casi deve essere 1+(4/x) >=0, cioè x<= -4 V x>=0

si tratta quindi di risolvere separatamente le due disequazioni irrazionali, mettendo ognuna a sistema con la condizione, e poi mettere nuovamente a sistema i risultati trovati

elevando al quadrato la prima avremo:

1+(4/x) < (e+1)^2 ; riducendo allo stesso denominatore e mettendo in evidenza la x:

{x[1-(e+1)^2]+4}/x <0

studio il segno del numeratore:

x[1-(e+1)^2]+4 >0 ; poichè il coefficiente di x è negativo, cambio segno e verso :

x[(e+1)^2-1]-4 <0 , da cui, risolvendo:

x< 4/[(e+1)^2-1]

denominatore: x>0

confronto i segni di numeratore e denominatore ed ottengo :

x< -4 V x>4/[(e+1)^2-1] ( è da notare che quest'ultimo numero è molto grande, in quanto (e+1)^2-1 è molto piccolo)

stesso procedimento per la seconda disequazione; alla fine ottengo :

x< -4/[1-(1-e)^2] V x>0

mettendo a sistema i due risultati :

x< -4 V x>4/[(e+1)^2-1]

x< -4/[1-(1-e)^2] V x>0

ottengo :

x< -4/[1-(1-e)^2] V x>4/[(e+1)^2-1] , che sono quello che dovevo trovare,cioè : il primo un intorno di - infinito, il secondo di + infinito