Danilo I ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

Dimostrazione di limite?

Sapete dimostrarmi questo limite?

Lim rad[1+(4/x)] = 1

x-->infinito

2 risposte

Classificazione
  • 1 decennio fa
    Risposta preferita

    la dimostrazione si rifà alla definizione:

    scelto un epsilon e > 0, esiste un M > 0

    tale che per ogni | x | > M allora | radq(1 + 4/x) - 1 | < epsilon .

    Dimostrarlo significa scegliere un epsilon e vedere che si trova il corrispondente M .

    Quindi è una disequazione con il modulo:

    | radq(1 + 4/x) - 1 | < e

    che diventa:

    1 - e < radq(1 + 4/x) < 1 + e

    Questo è un sistema di due disequazioni: vediamo la prima

    1 - e < radq(1 + 4/x)

    che è una disequazione irrazionale; escludendo il caso (poco interessante) di e > 1

    (è poco interessante perchè si fa in modo che sto epsilon sia piccolo, sennò che limite è??)

    si risolve con le regole delle disequazioni irrazionali:

    (1 - e)^2 < (1 + 4/x) , purchè sia x < - 4 ( e anche x > 0 , ma lo consideriamo dopo);

    si risolve e si trova 4/x > (1 - e)^2 - 1

    da cui : x < 4/[(1 - e)^2 - 1] < 0

    e si vede che tanto più è "piccolo" epsilon "e", tanto più il denominatore tende a zero (da sinistra) e quindi "basta prendere" M1 < 4/[(1 - e)^2 - 1] .

    Questo dimostra il limite per x che tende a meno infinito.

    Per x che tende a più infinito si guarda l'altra disequazione:

    radq(1 + 4/x) < 1 + e ; che ha senso solo per x > 0, ma così è il nostro caso:

    (1 + 4/x) < (1 + e)^2

    da cui si ricava :

    x > 4/[(1 + e)^2 - 1] > 0

    e quindi basta prendere M2 = 4/[(1 + e)^2 - 1] per avere rispettato la condizione del limite per x che tende a più infinito.

    Se si vuole utilizzare un solo M, che vada bene sia per più infinito che per meno infinto, basta prendere il maggiore fra i due in valore assoluto.

  • 1 decennio fa

    devi partire da:

    |rad[1+(4/x)] -1|< epsilon ( che chiamerò e per comodità)

    questa si spezza nel sistema :

    rad[1+(4/x)] < e+1

    rad[1+(4/x)] > -e+1

    queste sono entrambe due disequazioni irrazionali, ma poichè sia e+1 che -e+1 sono quantità positive (e è un numero positivo molto piccolo) non abbiamo bisogno di ipotesi su di esse, mentre per entrambi i casi deve essere 1+(4/x) >=0, cioè x<= -4 V x>=0

    si tratta quindi di risolvere separatamente le due disequazioni irrazionali, mettendo ognuna a sistema con la condizione, e poi mettere nuovamente a sistema i risultati trovati

    elevando al quadrato la prima avremo:

    1+(4/x) < (e+1)^2 ; riducendo allo stesso denominatore e mettendo in evidenza la x:

    {x[1-(e+1)^2]+4}/x <0

    studio il segno del numeratore:

    x[1-(e+1)^2]+4 >0 ; poichè il coefficiente di x è negativo, cambio segno e verso :

    x[(e+1)^2-1]-4 <0 , da cui, risolvendo:

    x< 4/[(e+1)^2-1]

    denominatore: x>0

    confronto i segni di numeratore e denominatore ed ottengo :

    x< -4 V x>4/[(e+1)^2-1] ( è da notare che quest'ultimo numero è molto grande, in quanto (e+1)^2-1 è molto piccolo)

    stesso procedimento per la seconda disequazione; alla fine ottengo :

    x< -4/[1-(1-e)^2] V x>0

    mettendo a sistema i due risultati :

    x< -4 V x>4/[(e+1)^2-1]

    x< -4/[1-(1-e)^2] V x>0

    ottengo :

    x< -4/[1-(1-e)^2] V x>4/[(e+1)^2-1] , che sono quello che dovevo trovare,cioè : il primo un intorno di - infinito, il secondo di + infinito

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