Danilo I ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

Risoluzione di un integrale per parti?

Int e^x sen^2(x)dx

SI legge integrale di e elevato ad x per seno al quadrato di x

Il risultato è (e^x)/10 (5-2sen2x-cos2x) + c

Si legge e elevato a x tutto diviso 10. tutto per 5 - 2 seno di 2x - coseno di 2x.

A me viene un integrale che si ripete all'infinito. Deve essere risolto con metodo di sostituzione solo che io resto O.o così XD grazie mille

1 risposta

Classificazione
  • Dani
    Lv 7
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Il trucco è trasformare sen²x in una funzione senza il ²

    sen²x = ½(1–cos(2x))

    ∫ eˣsen²x dx =

    ∫ eˣ•½(1–cos(2x)) dx =

    ½ ∫ eˣ dx – ½ ∫ eˣcos(2x) dx =

    ½ eˣ – ½ ∫ eˣcos(2x) dx

    e ora il 2° integrale si può fare per parti 2 volte:

    .. ↓f ‘ . ↓g

    ∫ eˣcos(2x) dx =

    ......................... ↓f ‘ . ↓g

    eˣcos(2x) + 2 ∫ eˣsen(2x) dx =

    eˣcos(2x) + 2 eˣsen(2x) – 4 ∫ eˣcos(2x) dx

    apparentemente così si è tornati indietro, ma trattando l’uguaglianza

    ∫ eˣcos(2x) dx = eˣcos(2x) + 2 eˣsen(2x) – 4 ∫ eˣcos(2x) dx

    come una equazione, si ricava

    5 ∫ eˣcos(2x) dx = eˣcos(2x) + 2 eˣsen(2x) + C

    dove il “+ C” salta fuori dal fatto che l’integrale definito è una famiglia di funzioni.

    Quindi

    ∫ eˣcos(2x) dx = (1/5)(eˣcos(2x) + 2 eˣsen(2x)) + C

    ∫ eˣsen²x dx =

    ½ eˣ – ½ [(1/5)(eˣcos(2x) + 2 eˣsen(2x)) + C] =

    ½ eˣ – (1/10)(eˣcos(2x) + 2 eˣsen(2x)) + C =

    (1/10)[5 – cos(2x) – 2 sen(2x)]eˣ+ C

    ****

    ciao

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.