Aiuto: cuspide e funzione modulare?

Salve a tutti. Non riesco a capacitarmi con i moduli di questo esercizio.

Verificare che per x=1, la funzione y=|x|+|x-1| ha un punto angoloso sia per 0 sia per x=1.

La continuità c'è, dal momento che f(0)=|-1|=1 e f(1)=|1|=1. Ora bisogna dimostrare che la funzione non è derivabile e, più specificatamente, ha anche due punti angolosi. Un ringraziamento a chi mi aiuterà, R.

1 risposta

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  • Anonimo
    10 anni fa
    Risposta preferita

    FUNZIONE MODULARE

    y = f( x ) = | x | + | x - 1 |

    Nello studio della continuità e derivabilità di una funzione modulare è molto comodo spezzare tale funzione negli intervalli in cui è definita e studiarli singolarmente per trarne delle conclusioni generali.

    ❶ STUDIO DELLA CONTINUITA'

    ..... { - 2x + 1 , se x < 0

    y = { 1 ......... , se 0 ≤ x ≤ 1

    ..... { + 2x - 1 , se x > 1

    Per verificare la continuità della funzione studiamo singolarmente i 3 intervalli :

    ① per x < 0 ... y = - 2x + 1 che trattandosi di un polinomio è sicuramente continuo ;

    ② per 0 ≤ x ≤ 1 .... y = 1 che trattandosi di una funzione costante è indubbiamente continua ;

    ③ per x > 1 .. y = + 2x - 1 che trattandosi di un polinomio è sicuramente continuo .

    Oltre a questo studio qualitativo, si può verificare analiticamente che pure nei punti "d'incontro" dei 3 intervalli la funzione è continua applicando la definizione di continuità in un punto, ovvero : lim( x → x₀ ) [ f( x ) ] = f( x₀ ) .

    ① lim( x → 0 ) [ 1 ] = f( 0 ) = 1

    ② lim( x → 1 ) [ 1 ] = f( 1 ) = 1

    In conclusione, avendo constatato che tale funzione è continua in ogni intervallo e nei punti d'intersezione degli stessi si può definire CONTINUA .

    ❷ STUDIO DELLA DERIVABILITA'

    ..... { - 2 , se x < 0

    y' = { . 0 , se 0 < x < 1

    ..... { + 2 , se x > 1

    Come è evidente tale funzione è derivabile sicuramente in tutti e 3 gli intervalli in cui è definita.

    Questa sicurezza di derivabilità non la si ha a priori nei punti "d'incontro" degli intervalli.

    In generale, in tali punti la si deve verificare applicando la definizione di derivata e conseguentemente quella di esistenza dei limiti.

    La derivata in un punto è definita come il limite del rapporto incrementale calcolato in quel punto.

    A sua volta un limite centrato in un punto esiste se e solo se il limite destro coincide con il valore del limite sinistro calcolati in tale punto.

    Come evidente, l'esistenza o meno della derivata in un punto, essendo definita tramite un limite, è conseguenza dell'esistenza o meno di quest'ultimo !!

    ① lim ( x → 0⁻ ) [ - 2 ] = - 2 ≠ lim ( x → 0⁺ ) [ 0 ] = 0

    ... Per cui in x = 0 la funzione in esame non è derivabile : x = 0 è un punto angoloso.

    ② lim ( x → 1⁻ ) [ 0 ] = 0 ≠ lim ( x → 1⁺ ) [ + 2 ] = + 2

    ... Per cui in x = 1 la funzione in esame non è derivabile : x = 1 è un punto angoloso.

    ❸ CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI NON DERIVABILITA'

    ① Punto angoloso :

    .... lim( x₀⁻ )[ f '( x ) ] = m ∈ ℝ ... lim( x₀⁺ )[ f '( x ) ] = l ∈ ℝ ... con m ≠ l

    ② Cuspide :

    .... - cuspide con vertice in alto :

    ...... lim( x₀⁻ )[ f '( x ) ] = +∞ ... lim( x₀⁺ )[ f '( x ) ] = -∞

    .... - cuspide con vertice in basso :

    ...... lim( x₀⁻ )[ f '( x ) ] = -∞ ... lim( x₀⁺ )[ f '( x ) ] = +∞

    ③ Flesso a tangente verticale :

    .... - flesso a tangente verticale crescente :

    ...... lim( x₀ )[ f '( x ) ] = +∞

    .... - flesso a tangente verticale decrescente :

    ...... lim( x₀ )[ f '( x ) ] = -∞

    Ciao ciao

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