Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 9 anni fa

FUNZIONI MATEMATICHE?

frequento il primo anno di liceo scientifico.... vi prego, nn riesco a capire le funzioni, la mia prof. nn è proprio bravissima e adesso nn so cosa fare....

mi servirebbe sapere: la definizione di funzione

funzioni iniettive, suriettive e biettive

funzioni composte

funzioni inverse

per piacere, aiutatemi!!! vi prego, nn riesco prp a capirle...

1 risposta

Classificazione
  • 9 anni fa
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    FUNZIONI INIETTIVE

    f si dice iniettiva se per ogni x e y in A con x diverso da y allora f(x) è diverso da f(y). Alternativamente f(x)=f(y) implica x=y. In pratica la funzione assume valori sempre diversi in punti diversi.

    Per esempio, se A=B=R (insieme dei numeri reali) f(x)=e^x è una funzione iniettiva. Infatti e^x=e^y implica (moltiplicando ambo i membri per e^(-y) ) e^(x-y)=e^(y-y)=e^0=1. Quindi x=y perché e^z=1 solo se z=0 (quindi z=x-y=0, cioé appunto x=y). Se dovesse essere chiaro: e è un numero reale compreso tra 2 e 3, se ti confonde considera 2 al posto di e, il ragionamento rimane valido senza bisogno di aggiustamenti.

    Sui reali, in generale, le funzioni strettamente crescenti sono iniettive: infatti se f è crescente x>y implica f(x)>f(y) e quindi f(x) è diverso da f(y). Lo stesso vale per le funzioni decrescenti: una funzione strettamente descrescente è iniettiva.

    Per vedere se una funzione da R in R è iniettiva puoi vedere se la derivata di f si annulla: se f'(x) (derivata di f calcolata in x) è sempre diverso da 0 allora la funzione è strettamente crescente e pertanto è iniettiva.

    Attenta, però: se f'(x)=0 in qualche punto non significa che la funzione non sia crescente né tanto meno che non sia iniettiva. Per esempio se prendi f(x)=x^3 hai che f'(x)=2x^3 che si annulla per x=0. Tuttavia x^3 è strettamente crescente.

    FUNZIONI SURIETTIVE

    Una funzione f da A a B si dice suriettiva se per ogni y in B esiste x in A tale che f(x)=y. Alternativamente, f è suriettiva se f(A)=B ovvero l'immagine di A è tutto B. In pratica ogni elemento di B è immagine tramite f di qualche elemento di A.

    Per esempio, se A=B=R e f(x)=e^x allora f non è suriettiva perché e^x>0 per ogni x in R.

    Invece se A={x in R tali che x>0} e B=R la funzione f(x)=log(x) (il logaritmo di x, ovvero la funzione inversa della precedente: la funzione esponenziale) è suriettiva: infatti la funzione tende a meno infinito al tendere di x a zero (la funzione assume valori negativi sempre più grandi più ci si avvicina a 0) e tende a più infinito se x tende a più infinito (f(x) è arbitrariamente grande se prendi x abbastanza grande). log(x) è una funzione continua sui reali positivi (in termini semplici - e non troppo rigorosi - il suo grafico è una linea continua priva di salti o punti vicino a cui la funzione oscilla senza assumere un valore preciso o punti in cui la funzione tende a più o meno infinito). C'è un teorema noto come teorema dei valori intermedi o teorema degli zeri che dice che se a<b e f è continua sull'intervallo [a, b] allora f(x) assume tutti i valori tra f(a) e f(b) quando x varia in è[a, b]. Quindi la funzione passa da meno infinito a più infinito con continuità e assume tutti i valori intermedi, cioé tutti i reali. Quindi è suriettiva.

    FUNZIONI BIETTIVE

    Una funzione f da A a B si dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Una funzione f biettiva è dotata di inversa (denotata f^(-1)) in modo che f^(-1)(f(x))=x per ogni x in A.

    Se A e B sono insiemi finiti e f è biettiva, allora A e B devono avere la stessa cardinalità (numero di elementi). Se A è infinito (ha infiniti elementi) allora anche B lo è e viceversa.

    Sia A sottoinsieme non vuoto di R qualsiasi. Per esempio f(x)=x^(2n+1) dove n è un intero non negativo, è una funzione biettiva prendendo B=f(A). La sua inversa è la funzione g(y)=y^(1/(2n+1)). Come caso particolare f(x)=x (l'identità) è una funzione biettiva prendendo A=B qualsiasi.

    CONCLUSIONE

    Per vedere se una funzione è iniettiva, suriettiva o biettiva guarda bene il grafico (se la funzione è da R in R). Se la funzione è tra insiemi A e B qualsiasi prova a vedere se si applica o meno la definizione. Per funzioni tra insiemi qualsiasi, l'uso dei diagrammi di Venn (i classici insiemi a cerchio con gli elementi evidenziati da punti) può essere un'utile strumento intuitivo.

    Una funzione biettiva è sia iniettiva che suriettiva. Una funzione iniettiva può essere suriettiva (e quindi anche biettiva) oppure no. Una funzione suriettiva può essere iniettiva (e quindi biettiva) oppure no.

    Fonte/i: ..
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