La ste ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 decennio fa

Help...limiti di successioni....?

Potete aiutarmi a risolvere questi tre limiti?

1. lim n--> +oo n2^n/3^n

2. lim n --> + oo [(n(n+1)*...*(2n))^1/n]/n

3. lim n --> + oo ln(n!)/[n*ln(n)]

Il risultato lo so...dovrebbe essere rispettivamente 0, 4/e, 1...è che non so proprio come dimostrarlo...grazie mille...e 10 punti al primo che mi fa capire...:)!!

1 risposta

Classificazione
  • Dani
    Lv 7
    1 decennio fa
    Risposta preferita

    Tutti i seguenti limiti sono per n → +∞.

    1)

    lim n²2ⁿ/3ⁿ = lim n/(3/2)ⁿ = 0,

    essendo 3/2 > 1, in base al criterio per cui, se a > 1, la potenza aⁿ ha un infinito di ordine superiore a qualsiasi porenza nˢ, cioè lim nˢ/aⁿ = 0, per ogni a > 1, s ∈ IR.

    2)

    Conosci la formula di Stirling?

    ........ ___

    n! ~ √2πn (n/e)ⁿ

    Osservato che n(n+1)(n+2)···(2n) = (2n)!/(n–1)! = n(2n)!/n!, abbiamo

    ..._______________

    ⁿ√n(n+1)(n+2)···(2n)

    –––––––––––––––– =

    ............ n

    .. _ ..._______

    ⁿ√n ⁿ√(2n)! / n!

    –––––––––––– =

    ......... n

    ..._ .... ___ ........ _

    ⁿ√n [²ⁿ√(2n)! ]² / ⁿ√n!

    –––––––––––––––– ~

    ............ n

    ..._ .....___ .................. ___

    ⁿ√n [²ⁿ√4πn (2n/e)²] / [²ⁿ√2πn (n/e)]

    ––––––––––––––––––––––––––––– =

    ....................... n

    ..._ ...._

    ⁿ√n ²ⁿ√2 (4/e) → 4/e

    3)

    Sempre per la formula di Stirling

    .ln(n!)

    ––––– ~

    n ln(n)

    ½ln(2π) + (n+½)ln(n) – n

    ––––––––––––––––––––– =

    .......... n ln(n)

    ½ln(2π) + ½ln(n) – n

    ––––––––––––––––– + 1 → 1

    .......... n ln(n)

    P.S. Senza formula di Stirling, o strumento di pari sofisticazione, i limiti 2) e 3) non mi sembrano altrimenti fattibili.

    ****

    ciao

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