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Simone ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 10 anni fa

intervalli di crescenza/decrescenza funzione modulare di 2ndo grado 10 punti al migliore!!!?

y=|2x^3-5x^2+x+2|

Aggiornamento:

Ho già svolto il procedimento che consideravo "normale" non ho postato tutto quello che ho svolto perché perderei molto tempo a cercare di copiare tutto quello che ho fatto in maniera corretta qui il che è ancora più difficile e dispendioso.

Detto a parole - senza cercare di copiare il mio svolgimento - quello che ho "tentato" di fare:

ho scomposto y=|2x^3-5x^2+x+2|

e ottenuto |x-1|*2x^2-3x-2|

poi scomposto ancora e ottenuto

|x-1|* |2x-4|* |2x+1|

fatto questo ho studiato il segno di ciascuno dei moduli

ho individuato 4 casi

x<-1/2

-1/2<x<1

1<x<2

x>2

e per ognuno dei quattro intervalli ho messo a sistema cambiando il segno del modulo se <0

il problema è che con questo sistema ogni volta devo ricomporre la funzione moltiplicando ognuno cambiato di segno quando necessario, e poi rifare la derivata....

Mi sembra impossibile una cosa del genere è per questo che credo di sbagliare e

vorrei che qualcuno mi dicesse se effettivamente è così :((

Aggiornamento 2:

Alcune cose che non ho capito...

I)

*************************************

STUDIO DI f ' ( x )

. { - 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] ..... per x < - 1/2 ... v ... 1 < x < 2

y' = {

. { + 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] .... per - 1/2 < x < 1 ... v ... x > 2

*******************************************************

Tu ottieni come derivata prima

y'= { - 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ]

per x < - 1/2 ... v ... 1 < x < 2

e

{ + 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ]

per - 1/2 < x < 1 ... v ... x > 2

hai applicato il la regola della derivata del prodotto di funzioni con | x - 1 | * | x - 2 | * | 2x + 1 |?

Se hai fatto (o meno ) così in ogni caso non è comunque "equivalente" a fare la derivata di

y=2x^3-5x^2+x+2 per trovare la derivata prima

II)

*************************

{ - 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] ≥ 0

{ x < - 1/2 ... v ... 1 < x < 2

{ [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x -

2 risposte

Classificazione
  • Anonimo
    10 anni fa
    Risposta preferita

    FUNZIONE MODULARE

    STUDIO DI f ( x )

    f ( x ) = | 2x³ - 5x² + x + 2 |

    ......... = | x - 1 | * | x - 2 | * | 2x + 1 |

    Grafico : http://img218.imageshack.us/img218/7792/85569950.g...

    Ovvero :

    ........... { ( 1 - x ) * ( x - 2 ) * ( 2x + 1 ) ...... per x < - 1/2 ... v ... 1 < x < 2

    f ( x ) = {

    ........... { ( x - 1 ) * ( x - 2 ) * ( 2x + 1 ) ...... per - 1/2 ≤ x < 1 ... v ... x ≥ 2

    Dominio = ℝ

    Come è evidente f ( x ) è CONTINUA in tutto ℝ .

    STUDIO DI f ' ( x )

    . { - 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] ..... per x < - 1/2 ... v ... 1 < x < 2

    y' = {

    . { + 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] .... per - 1/2 < x < 1 ... v ... x > 2

    Individuazione dei punti di NON derivabilità :

    lim( x → - 1/2⁻ ) { - 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] } = - 15/2

    lim( x → - 1/2⁺ ) { + 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] } = + 15/2

    Quindi P = ( -1/2 , 0 ) è un PUNTO ANGOLOSO .

    lim( x → 1⁻ ) { - 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] } = + 3

    lim( x → 1⁺ ) { + 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] } = - 3

    Quindi Q = ( 1 , 0 ) è un PUNTO ANGOLOSO .

    lim( x → 2⁻ ) { - 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] } = - 5

    lim( x → 2⁺ ) { + 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] } = + 5

    Quindi R = ( 2 , 0 ) è un PUNTO ANGOLOSO .

    Per individuare i punti di minimo e di massimo occorre studiarne la positività :

    f ' ( x ) ≥ 0

    1° caso :

    { x < - 1/2 ... v ... 1 < x < 2

    { - 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] ≥ 0

    { x < - 1/2 ... v ... 1 < x < 2

    { [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] ≤ 0

    { x < - 1/2 ... v ... 1 < x < 2

    { ( 5 - √19 ) / 6 ≤ x ≤ ( 5 + √19 ) / 6

    S₁ = { x ∈ ℝ | 1 < x ≤ ( 5 + √19 ) / 6 }

    2° caso

    { - 1/2 < x < 1 ... v ... x > 2

    { + 6 * [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] ≥ 0

    { - 1/2 < x < 1 ... v ... x > 2

    { [ x + ( √19 - 5 ) / 6 ] * [ x - ( √19 + 5 ) / 6 ] ≥ 0

    { - 1/2 < x < 1 ... v ... x > 2

    { x ≤ ( 5 - √19 ) / 6 ∨ x ≥ ( 5 + √19 ) / 6

    S₂ = { x ∈ ℝ | - 1/2 < x ≤ ( 5 - √19 ) / 6 ∨ x > 2 }

    S = S₁ ∪ S₂ = { x ∈ ℝ | - 1/2 < x ≤ ( 5 - √19 ) / 6 ∨ 1 < x ≤ ( 5 + √19 ) / 6 ∨ x > 2 }

    Griglia dei segni di f ' ( x ) :

    - - - ( - 1/2 ) + + + [ ( 5 - √19 ) / 6 ] - - - ( 1 ) + + + [ ( 5 + √19 ) / 6 ] - - - ( 2 ) + + +

    INTERVALLI :

    - f ( x ) strettamente crescente : ( - 1/2 , ( 5 - √19 ) / 6 ) , ( 1 , ( 5 + √19 ) / 6 ) , ( 2 , +∞ ) ;

    - f ( x ) strettamente decrescente : ( -∞ , - 1/2 ) , ( ( 5 - √19 ) / 6 , 1 ) , ( ( 5 + √19 ) / 6 , 2 ) .

    In particolare in :

    x = ( 5 - √19 ) / 6 … x = ( 5 + √19 ) / 6 sono presenti due punti di MASSIMO RELATIVO ;

    x = - 1/2 … x = 1 ... x = 2 sono presenti tre punti di MINIMO RELATIVO .

    ( anche se tutti e tre punti di non derivabilità ) .

    NB : f ( x ) NON presenta MASSIMI ASSOLUTI perché monotòna decrescente da -∞ e monotòna crescente verso +∞ .

    Ciao ciao

    _______________________________________________________________________________

    Ho fattorizzato la funzione sotto modulo ... quindi l'ho spezzata in 4 intervalli e notando che erano uguali 2 a 2 ho condensato in 2 spezzoni ... da qui in poi ho ragionato su essi riferendomi agli intervalli in cui sono definiti.

    ESEMPIO :

    1° caso :

    { x < - 1/2 ... v ... 1 < x < 2

    { ( 5 - √19 ) / 6 ≤ x ≤ ( 5 + √19 ) / 6

    La seconda riga del sistema ci " dice " che la derivata è POSITIVA per valori interni a tali radici ( ed in esse si annulla ) ;

    però tal derivata è definita per x < - 1/2 OPPURE per 1 < x < 2 .... le parti in COMUNE fra questi intervalli le puoi per comodità visualizzare in una griglia in cui al posto dei segni indichi con un serpentino gli intervalli presi in considerazione ) ottenendo :

    _____ ( -1/2 ) . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . ( 1 ) __________________________ ( 2 )

    . . . . . . . . . . . . . . [ ( 5 - √19 ) / 6 ] _______________[ ( 5 + √19 ) / 6 ] . . . . . . . . . . .

    - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …. . ( 1 ) ______ [ ( 5 + √19 ) / 6 ] . . . . . . . . .

    NOTA : solo le parti in comune !!

    S₁ = { x ∈ ℝ | 1 < x ≤ ( 5 + √19 ) / 6 }

    A questo punto in maniera ANALOGA studi il 2° caso ottenendo :

    S₂ = { x ∈ ℝ | - 1/2 < x ≤ ( 5 - √19 ) / 6 ∨ x > 2 }

    A questo punto devi UNIRE le due soluzioni ..... ovvero CONSIDERARE TUTTI gli intervalli COMUNI E NON ( magari rappresentandoli come appena fatto per i sistemi ( eccetto poi le considerazioni finali ) )

    TALI INTERVALLI INDICANO DOVE E' POSITIVA LA DERIVATA ( per complementarietà gli intervalli rimanenti indicano la negatività )

    ________________________________________________________________________________

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  • 10 anni fa

    Devi togliere il modulo dividendo la funzione data in due altre funzioni.

    Una funzione sarà quella scritta all'interno del modulo, nell'intervallo in cui la funzione iniziale è positiva, l'altra funzione sarà l'opposta di quella inserita nel modulo nei restanti intervalli in cui la funzione è negativa. Fatto questo, mediante lo studio delle derivate di queste due funzioni divise, puoi studiare la crescenza/decrescenza della funzione iniziale.

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