Gianni ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 9 anni fa

Argomento: Integrali Doppi ------ Livello: Università?

Stabilire se i seguenti insiemi sono misurabili (secondo Peano-Jordan) come sottoinsiemi di R^2:

a) Q intersecato [0,1];

b) {( 1/(n+1) , n^2/(n^2 + n + 1) ) : n appartenente N};

c) {( x , sin(1/x) ): x appartenente (0,1)};

d) { (x,y): 1<= x^2 + y^2 <= 4}

n.b.: la definizione di insieme misurabile è di due righe ma non dà nessuno strumento chiaro per la sua determinazione ..... vi sarei grato se mi potreste fornire una trattazione qualitativa per capire in generale come posso determinare se un insieme è misurabile o meno.

1 risposta

Classificazione
  • Dani
    Lv 7
    9 anni fa
    Migliore risposta

    Per le definizioni e le proprietà generali della misura di Peano-Jordan, fai riferimento al tuo testo.

    Una buona trattazione dell'argomento si trova nel libro "Analisi matematica 2° volume" di Cecconi e Stampacchia, ed. Liguori.

    a) A = Q ∩ [0,1]

    identificato con

    A = {(x,0): 0 ≤ x ≤ 1, x ∈ Q} è misurabile in IR² con m(A) = 0.

    Dato ε > 0, A ⊆ [0,1]×[0, ε], m([0,1]×[0, ε]) = ε.

    Invece A ⊆IR non è misurabile in IR.

    b) B = {(1/(n+1), n²/(n²+n+1)) : n ∈ IN} è misurabile in IR² con m(B) = 0.

    B è un insieme numerabile che ha un unico punto di accumulazione, P=(0,1).

    Dato ε > 0, sia U un intervallo t.c. P sia un punto interno di U ed m(U) < ε/2; poiché B \ U è un insieme finito di punti, è possibile ricoprire B \ U con un plurintervallo V t.c. m(V) < ε/2.

    Allora il plurintervallo U ∪ V soddisfa B ⊆ U ∪ V, m(U ∪ V) ≤ m(U) + m(V) < ε.

    c) C = {(x, sin(1/x)): x ∈ (0,1)} è misurabile in IR² con m(C) = 0.

    Il grafico in IR² di g(x) = sin(1/x), per x → 0, oscilla infinite volte tra i valori –1 e +1; i punti del segmento di estremi (0,–1), (0,1) sono di accumulazione per il grafico.

    Dato ε > 0, sia; U = [0,ε/4]×[–1,1]; la funzione f : [ε/4, 1] → IR, f(x) = sin(1/x) è integrabile (perché continua), perciò il suo grafico G è misurabile e con misura nulla; sia V un plurintervallo tale che G ⊆ V e m(V) < ε/2.

    Allora il plurintervallo U ∪ V soddisfa C ⊆ U ∪ V, m(U ∪ V) ≤ m(U) + m(V) < ε.

    d) D = {(x,y): 1 ≤ x² + y² ≤ 4} è misurabile in IR² con m(D) = 3π.

    Per ogni r > 0, il cerchio

    C(r) = {(x,y): x² + y² ≤ r²}

    è la parte di piano compresa tra i grafici delle funzioni continue

    f(x) = √(r² – x² – y²), g(x) = –√(r² – x² – y²)

    nell’intervallo [–r, r].

    Poiché tali funzioni sono Riemann integrabili, C(r) è misurabile ed ha misura m(C(r)) = ∫(f–g) = πr².

    D è la chiusura di C(2) \ C(1), dunque è misurabile con misura m(D) = m(C(2)) – m(C(1)) 3π.

    N.B.

    Un intervallo chiuso e limitato di IRⁿ è un insieme del tipo [a,b] × [c,d] × ...

    Un plurintervallo di IRⁿ è unione di un numero finito di intervalli chiusi e limitati.

    ****

    ciao

    Fonte/i: "Analisi matematica 2° volume" di Cecconi e Stampacchia, ed. Liguori
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