Un auto su un piano inclinato e un cavo di traino: quanto vale la tensione del cavo?

Un automobile di 1000 Kg viene tirata su di un piano liscio inclinato di 30° mediante un cavo di traino che forma a sua volta un angolo di 30° con il piano inclinato stesso. Se l'automobile sale con velocita' costante, quanto vale la tensione del cavo?

Scrivo qui sotto quello che secondo me potrebbe essere lo svolgimento... ma che non mi convince:

m (massa dell'auto) = 1000 Kg

Fp (forza peso) = m · g = 1000 Kg · 9,8 m/s² = 9800 N

Fτ (forza del cavo di traino)

Fr (reazione vincolare del piano inclinato)

N (componente normale della reazione vincolare del piano inclinato)

α (angolo formato tra il piano inclinato e l'orizzonte) = 30°

β (angolo formato tra il cavo di traino e il piano inclinato) = 30°

Le forze agenti sulla massa dell'auto sono la forza peso, la forza del cavo di traino e la reazione vincolare del piano.

Visto che l'automobile si muove con velocità costante la risultante delle forze dev'essere zero.

(Fp + Fτ + Fr) = m · a = 0

Vado ad analizzare le componenti x (parallele al piano inclinato) ed y (perpendicolari) delle 2 forze.

Fpx = - m · g · cos α

Fpy = - m · g · sen α

Fτx = m · a(τ) · cos β

Fτy = m · a(τ) · sen β

Frx = 0

Fry = N = -Fpy = m · g · sen α

F* = forza totale

F*x = - m · g · cos α + m · a(τ) · cos β => a(τ) = g · cos α / cos β

F*y = - m · g · sen α + m · a(τ) · sen β + m · g · sen α = m · a(τ) · sen β

visto che α = β

a(τ) = g

F*x = - m · g · cos α + m · g · cos α = 0

F*y = m · a(τ) · sen β = m · g · sen α = 4900 N

Quindi l'unica componente della forza esercitata dal cavo di traino è quella normale al piano inclinato e dovrebbe essere uguale a 4900N.

Secondo voi la risposta così com'è è corretta? Se no dove ho sbagliato??

Grazie in anticipo a chi risponderà.

Aggiornamento:

@Luigi 74

effettivamente avevo sbagliato le componenti delle forze: mi sono disegnato gli assi e (logicamente) ho visto che le tue componenti erano quelle giuste! :-) Grazie mille!

Quella che chiamo a(τ) non è altro che la tua T (accelerazione dovuta alla tensione )

Avrei un ultima richiesta: se il piano non fosse stato liscio, ma con un coefficiente di attrito dinamico μ= 0.2?

2 risposte

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  • 10 anni fa
    Risposta preferita

    Sbagli le componenti delle forze. Infatti, proiettando sull'asse X parallelo al piano inclinato e diretto in su, si ha:

    - m g sinα + T cosβ = 0

    proiettando sull'asse Y perpendicolare al piano inclinato e diretto in fuori, si ha:

    - m g cosα + T sinβ + N = 0

    dalla 1a si ha:

    T = m g sinα/cosβ = 1000*9.8* tan30° = 5660 N

    N = m g cosα - T sinβ = 5660 N

    Se sei indeciso su quale, fra seno e coseno, utilizzare per calcolare la componente di una forza, pensa al caso limite: α = 0 . In questo caso il piano è orizzontale e, essendo il peso verticale per definizione, deve essere Fpx = 0.

    Quindi, Fpx = - m g sinα .

    Inoltre non capisco le espressioni da te utilizzate per le componenti della tensione del cavo . Cosa intendi con a(τ) ?

  • oubaas
    Lv 7
    10 anni fa

    Che profusione di formule....

    Forza peso Fp auto in N = 1.000kg*9,8m/sec^2 = 9.800N

    componente verticale Fph forza peso = Fp*sin30° = 9.800*0,5 = 4.900N

    Se la forza trainante F fosse parallela al piano inclinato , il suo valore sarebbe pari a Fph (4.900N); siccome c'e un ulteriore angolo di 30° tra la direzione della forza F ed il piano inclinato , allora :

    F = Fph/cos30° = 4.900*2/√3 = 4.900*2*√3/3 = 9.800*√3/3 N

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