Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 10 anni fa

Problema analisi matematica?

(1) Al variare del parametro reale m, quante soluzioni ha l'equazione:

(E^x)=m(x^3)

non riesco a esprimerle in maniera formale... intuisco, oltre i valori ovvi (m=0, m=1).

Ho ipotizzato di studiare gli zeri della funzione e^x-mx^3=0 ma mi blocco sui logaritmi.

Come li trovo?

(2) Serie parametrica gigante, sviluppo con taylor e trovo che il termine generale è asintotico a:

[(2a-3)/6](1/n)

Dove nella quadra ho un numero che varia secondo a reale, e 1/n è il termine generale.

Allora essendo 1/n divergente diverge per ogni a? L'unico controesempio che mi è venuto è se a=3/2 in modo che la costante moltiplicatica è nulla e si ha la serie banale di termine generico 0 che se dio vuolo converge a 0. Ma boh.

Grazie dell'aiuto!

Aggiornamento:

No non è come dici. Bisogna studiare tutta la funzione y(x)=E^x-(mx^3)

Disegnati il grafico della funzione, è impestato di brutto, ricorda una w col minimo sinistro molto allungato.

Comunque, se

m=0, no sol

m<0 la funzione è una specie di cubica ma con flesso a tangente obliqua in 1. Quindi 1 sol.

Se m>0, al suo variare assume valori tali che ha 0, 1 o 2 sol. Ma non li riesco a trovare perchè mi perdo nei conti.

1 risposta

Classificazione
  • 10 anni fa
    Risposta preferita

    Per la prima, in sostanza hai a sinistra un esponenziale e a destra una cubica semplice (con fattore moltiplicativo). L'equazione ha soluzione quando l'esponenziale tocca la cubica, se disegni le funzioni, ti accorgi immediatamente che non importa quale fattore moltiplicativo usi, dato che la cubica ha il cambio di curvatura sullo zero, la cubica toccherà solo in 1 punto l'esponenziale... quindi Quale che sia m hai 1 e una sola soluzione (tranne per i casi m = 0, che non ha soluzione e m = a infinito, che non può verificarsi).

    Per la seconda mi viene da dire che hai ragione. Prova però a controllare se hai sviluppato taylor correttamente.

    AGGIUNTA !!

    Hai ragione sul fatto che non è una sola soluzione, non stavo controllando la pendenza correttamente... ma studiare la funzione che dici tu è la stessa cosa che studiare i punti d'incontro tra le due funzioni singole L'equazione E^x = m(x^3) diventa

    E^x - m(x^3) = 0

    Qundi ha soluzione quando E^x vale esattamente quanto x^3.

    Allora. per m negativo come dici tu c'é una sola soluzione, e si dimostra facile dato che le due funzioni sono una descrescente e una monotona crescente (ed entrambe definite nel dominio R), quindi si incontrano in uno ed un solo punto.

    Quando m è = 0 come hai detto tu.

    Quando m è > di zero può avere 2 soluzioni o 0 soluzioni (il caso di una soluzione avviene esattamente per m che divide le 2 soluzioni dalle 0), perché per m > 0 le due funzioni sono entrambe monotone crescenti, e dato che l'esponenziale con x grande cresce a un ritmo decisamente superiore alla cubica, ma la cubica può crescere + in fretta per x piccoli, dipende da m. Quindi può succedere che la cubica supera l'esponenziale su x piccoli, poi l'esponenziale supera nuovamente la cubica (quindi 2 soluzioni), ad un dato momento la cubica sarà tangente in un punto all'esponenziale (1 soluzione) da lì in poi (per m maggiori) non si toccano +.

    Quindi per dimostrarlo devi trovare M tale che la cubica sia tangente all'esponenziale in un punto.

    Supponendo K questo valore di m, alla fine puoi dire: 0 < m < K 2 soluzioni m = K 1 soluzione m > K 0 soluzioni.

    Per trovare il punto K, devi risolvere il sistema:

    e^x = m(x^3)

    e l'uguaglianza delle derivate D(e^x) = D(m(x^3))

    da questo sistema puoi trovare K. Non ho fatto tutti i calcoli, ma mi sembra che si K sia l'M per cui le due funzioni si incontrano in X = 3, (quindi K = e^3 / 27) ma potrei averli sbagliati.

    Dimmi se c'é qualcosa che non và!

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.