Problema di massimo e minimo?

Su un listello di legno, lungo 10 m, si appendono 2 cartelloni, uno a forma di quadrato per un lato, l'altro a forma di triangolo rettangolo per il cateto maggiore )il secondo cateto misura la metà di quello appeso). Sapendo che lato e cateto coprono esattamente il listello, trova le loro misure in modo che la somma delle superfici dei due cartelloni risulti minima.

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1 risposta

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  • 10 anni fa
    Risposta preferita

    Detto q il lato del quadrato e c il cateto del triangolo, la somma delle superfici sarà data dalla formula:

    S = q² + [(c * c/2) / 2] = q² + c²/4

    Inoltre, il testo ti dice che:

    q + c = 10

    da cui ricavi:

    q = 10 - c

    Sostituendo tale valore nella prima equazione ottieni:

    S = (10 - c)² + c²/4 = 100 + c² - 20c + c²/4 = 5c²/4 - 20c + 100

    Noterai che si tratta di una parabola con la concavità rivolta in alto il cui punto di minimo quindi è il vertice che ha coordinate:

    V(-b/2a, -Δ/4a)

    [dove Δ = b² - 4ac è il discriminante dell’equazione di secondo grado che rappresenta la curva]

    calcoliamo:

    -b/2a = 20 / 5/2 = 8

    -Δ/4a = 100/5 = 20

    Dunque per c = 8 hai q = 2 e dunque la superficie è S = 4 + 16 = 20

    Allo stesso risultato (qui ottenuto per via geometrica) puoi arrivare per via analitica calcolando la derivata prima della funzione ed eguagliandola a zero:

    f(c) = 5c²/4 - 20c + 100

    f'(c) = 5c/2 - 20

    5c/2 - 20 = 0

    c = 40/5 = 8

    Il punto c = 8 è un punto critico della tua funzione ma la derivata prima non ti dice se si tratti di un minimo o di un massimo (o, al limite, di un flesso).

    Per saperlo con certezza devi studiare il segno della derivata seconda:

    f''(c) = 5/2

    Essendo f''(c) sempre positiva, il punto critico appena trovato è certamente un minimo e dunque si tratta della soluzione del tuo problema.

    Bye

    J.

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