puka
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puka ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 10 anni fa

Calcolare integrale definito attraverso la definizione?

Qualcuno potrebbe dirmi in modo dettagliato come si calcola un integrale definito attraverso la definizione, quindi con Sn, sn, limite ecc...?

Magari facendo qualche esempio pratico....

1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    10 anni fa
    Risposta preferita

    x

    Prendiamo per esempio la funzione y = x² (parabola con Vertice in O )

    Vogliamo calcolare la area che è SOTTO la parabola... tra le ascisse x=0 ed x=1

    E' utile che tu faccia un bel disegno GRANDE ASSAI... di questo tratto di funzione.

    Poi dividiamo l' intervallo in 5 parti... quindi segna le ascisse :

    0,2 .. 0,4 .. 0,6 .. 0,8 . . . alias 1/5 . . 2/5 . . 3/5 . . 4/5

    se poi disegni i famosi RETTANGOLI posizionati SOTTO LA CURVA (si potrebbero usare anche quelli SOPRA LA CURVA!) abbiamo la seguente condizione:

    5 rettangoli, tutti della stessa larghezza 1/5

    le loro ALTEZZE sono le 5 f(x) calcolate nei punti : 0 , 1/5, 2/5, 3/5 e 4/5 . . che sono :

    0 . . 1/25. . 4/25 . . 9/25 . . e 16/25

    quindi le AREE dei 5 rettangoli sono ;

    0 . . 1/125 . . 5/125 . . 9/125 . . 16/125

    se le andiamo a SOMMARE... otteniamo 31/125 . . . che è ovviamente ARROTONDATO PER DIFETTO.

    se avessimo preso i valori dei rettangoli SOPRA LA CURVA... con lo stesso ragionamento , il risultato sarebbe stato :

    1/125 . . 5/125 . . 9/125 . . 16/125 . . 25/125 . . = 56/125

    ..........................

    il valore reale ovviamente è più vicino alla MEDIA dei due valori : 1/2 (16/125 + 56/125) = 36/125

    Vogliamo calcolare il risultato usando la formula della INTEGRAZIONE :

    § x²dx tra 0 ed 1 = x³/3 calcolato tra 0 ed 1 . . . = 1/3

    In effetti 1/3 è COMPRESO tra 16/125 e 56/125 . . . approssimato meglio da 36/125

    Dividendo l' intervallo NON IN 5 PARTI... ma in 50 parti, si ottiene ovviamente un risultato più preciso.

    l' INTEGRALE è il LIMITE cui tendono queste sommatorie... aumentando all' infinito il numero di intervalli in cui eseguire il calcolo!

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