SISTEMA DI GENERATORI?

Question

Ragazzi in parole povere (senza troppe definizioni algebriche) mi sapete spiegare quando un sistema è un sistema di generatori????E cosa significa generare tutto lo spazio vettoriale???

Answer 1

Risposta preferita

Un insieme di vettori è un generatore di uno spazio quando essi sono linearmente indipendenti e le loro combinazioni lineari generano tutti i vettori delle spazio.

Generare tutto lo spazio significa appunto questo: qualsiasi vettore appartenente allo spazio può essere costruito come combinazione lineare dei vettori della base.

Prendi ad esempio la base canonica di IR³:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

i 3 vettori sono sicuramente indipendenti in quanto l'unico modo di ottenere il vettore (0, 0, 0) da una loro combinazione lineare è dare ai tre vettori un moltiplicatore nullo:

a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

si può ottenere solo con a = b = c = 0

La dimostrazione è banale. Ti basta costruire il sistema lineare:

a + 0b + 0c = 0

0a + b + 0c = 0

0a + 0b + c = 0

che si riduce a:

a = 0

b = 0

c = 0

Ora prendi un qualunque vettore di IR³. Ad esempio (15, -2, 8).

Lo puoi ottenere come combinazione lineare dei vettori della base canonica? SI:

a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (15, -2, 8)

a = 15

b = -2

c = 8

La cosa ti è più chiara o ti ho definitvamente confuso le idee?

Bye

J.