SISTEMA DI GENERATORI?
Ragazzi in parole povere (senza troppe definizioni algebriche) mi sapete spiegare quando un sistema è un sistema di generatori????E cosa significa generare tutto lo spazio vettoriale???
1 risposta
- JorjiñoLv 710 anni faRisposta preferita
Un insieme di vettori è un generatore di uno spazio quando essi sono linearmente indipendenti e le loro combinazioni lineari generano tutti i vettori delle spazio.
Generare tutto lo spazio significa appunto questo: qualsiasi vettore appartenente allo spazio può essere costruito come combinazione lineare dei vettori della base.
Prendi ad esempio la base canonica di IR³:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
i 3 vettori sono sicuramente indipendenti in quanto l'unico modo di ottenere il vettore (0, 0, 0) da una loro combinazione lineare è dare ai tre vettori un moltiplicatore nullo:
a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
si può ottenere solo con a = b = c = 0
La dimostrazione è banale. Ti basta costruire il sistema lineare:
a + 0b + 0c = 0
0a + b + 0c = 0
0a + 0b + c = 0
che si riduce a:
a = 0
b = 0
c = 0
Ora prendi un qualunque vettore di IR³. Ad esempio (15, -2, 8).
Lo puoi ottenere come combinazione lineare dei vettori della base canonica? SI:
a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (15, -2, 8)
a = 15
b = -2
c = 8
La cosa ti è più chiara o ti ho definitvamente confuso le idee?
Bye
J.