Me <3 ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 9 anni fa

SISTEMA DI GENERATORI?

Ragazzi in parole povere (senza troppe definizioni algebriche) mi sapete spiegare quando un sistema è un sistema di generatori????E cosa significa generare tutto lo spazio vettoriale???

1 risposta

Classificazione
  • 9 anni fa
    Risposta preferita

    Un insieme di vettori è un generatore di uno spazio quando essi sono linearmente indipendenti e le loro combinazioni lineari generano tutti i vettori delle spazio.

    Generare tutto lo spazio significa appunto questo: qualsiasi vettore appartenente allo spazio può essere costruito come combinazione lineare dei vettori della base.

    Prendi ad esempio la base canonica di IR³:

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    i 3 vettori sono sicuramente indipendenti in quanto l'unico modo di ottenere il vettore (0, 0, 0) da una loro combinazione lineare è dare ai tre vettori un moltiplicatore nullo:

    a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

    si può ottenere solo con a = b = c = 0

    La dimostrazione è banale. Ti basta costruire il sistema lineare:

    a + 0b + 0c = 0

    0a + b + 0c = 0

    0a + 0b + c = 0

    che si riduce a:

    a = 0

    b = 0

    c = 0

    Ora prendi un qualunque vettore di IR³. Ad esempio (15, -2, 8).

    Lo puoi ottenere come combinazione lineare dei vettori della base canonica? SI:

    a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (15, -2, 8)

    a = 15

    b = -2

    c = 8

    La cosa ti è più chiara o ti ho definitvamente confuso le idee?

    Bye

    J.

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