Mic ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 10 anni fa

Altro calcolo con differenziale?

Ho una forza del tipo F= -x + F0 cos (omega t) con condizioni iniziali x(0)=v(0)=0 (quindi inizialmente fermo). Determinare la legge oraria x=x(t)=?

F=ma

-x+F0 cos(omega t)=ma

m=1

F0 cos (omega t)= a + x

Come procedere?

Aggiornamento:

il riisultato è x(t)= [ F0 / (1-omega^2) ] [ cos (omega t) - cos t ]

Aggiornamento 2:

PS: ho provato a fare la prova del 9 derivando la x(t) è posso affermare che il risultato è corretto.

2 risposte

Classificazione
  • 10 anni fa
    Risposta preferita

    Questa si chiama equazione del moto dell'oscillatore armonico con forzante

    Tutto quello che devi fare è trovare la soluzione dell'equazione differenziale sostituendo a=x''

    Venendo quindi

    x'' + x =F0 cos(ωt)

    E' un'equazione di secondo ordine a coefficienti reali. Per risolvere questo tipo di equazioni si è soliti studiare prima il caso omogeneo e poi il caso non omogeneo.

    Per il caso omogeneo scriviamo il polinomio caratteristico

    k^2 + 1 = 0

    k allora ha due radici complesse coniugate k=+- i

    Le soluzioni saranno quindi C1(cos(t) + i sen(t)) + C2(cos(t) - isen(t)) = (C1-C2)isen(t) + (C1+C2)cos(t)

    poichè si può scegliere costanti complesse per togliere l'unità immaginaria le scegliamo in modo tale che si abbia

    x=D1sen(t) + D2cos(t)

    Il metodo per risolvere il caso non omogeneo è il metodo della somiglianza ( nel caso tu non sappia cosa sia rivedi il tuo libro)

    poniamo

    y = Acos(ωt) + Bsen(ωt)

    y'= -ωAsen(ωt) + ωBcos(ωt)

    y''=-ω^2Acos(ωt) - ω^2Bsen(ωt)

    sostiuiamo allora y a x nell'equazione

    y'' + y = F0 cos(ωt)

    -ω^2Acos(ωt) - ω^2Bsen(ωt) + Acos(ωt) + Bsen(ωt) = F0 cos(ωt)

    raccogliamo

    cos(ωt)[A-ω^2A] + sen(ωt)[B- ω^2B] = F0 cos(ωt)

    Si impone allora il sistema

    {A-ω^2A=F0

    {

    {B- ω^2B=0

    {A(1-ω^2)=F0

    {

    {B(1-ω^2)=0

    {A=F0/(1-ω^2)

    {

    {B=0

    e quindi x(t)=F0/(1-ω^2) cos(ωt)

    Siccome una souzione di un'equazione non omogenea può essere la somma del caso omogeneo + il caso non omogeneo allora l'integrale generale sarà

    x(t)=D1sen(t) + D2cos(t) + F0/(1-ω^2) cos(ωt)

    verifichiamo quindi la prima condizione

    0=D1sen(0) + D2cos(0) + F0/(1-ω^2) cos(ω0)

    0 = 0 + D2 + F0/(1-ω^2)

    D2=-F0/(1-ω^2)

    Ora deriviamo

    v(t)=x'(t)=D1cos(t) + F0/(1-ω^2)sen(t) - F0/(1-ω^2) sen(ωt)

    Sostituiamo la seconda condizione

    0=D1cos(0) + F0/(1-ω^2)sen(0) - F0/(1-ω^2) sen(ω0)

    D1=0

    Ora ci basta sostituire D1 e D2 nell'integrale generale

    x(t)= -F0/(1-ω^2)cos(t) + F0/(1-ω^2) cos(ωt) = F0/(1-ω^2)[cos(ωt) - cos(t)]

    Così come tu avevi previsto

  • Anonimo
    10 anni fa

    Dobbiamo notare prima che dimensionalmente non ci siamo F è una forza allora x è pure una forza e non uno spostamento. Ammettendo di sistemare la cosa con un opportuno coefficiente dimensionale k, la forza è F= -kx + F0 cos ωt e la forza -kx diviene una forza di tipo elastico.

    Devi osservare ora che l'accelerazione a è la derivata seconda dello spostamento x . Onde vale l'equazione :

    mx''+kx=F0cosωt che è un'equazione differenziale lineare di secondo ordine con termine noto. per risolverla occorre prima risolvere l'omogenea associata mρ^2+k=0 che ha solo soluzioni immaginarie ρ=±iθ con θ= √(k/m) e quindi aggiungere una soluzione particolare ottenibile ad es. col metodo di Lagrange.

    Ma non so se tu puoi spingerti tanto.

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.