Altro calcolo con differenziale?

Question

Ho una forza del tipo F= -x + F0 cos (omega t) con condizioni iniziali x(0)=v(0)=0 (quindi inizialmente fermo). Determinare la legge oraria x=x(t)=?

F=ma

-x+F0 cos(omega t)=ma

m=1

F0 cos (omega t)= a + x

Come procedere?

Aggiornamento:

il riisultato è x(t)= [ F0 / (1-omega^2) ] [ cos (omega t) - cos t ]

Aggiornamento 2:

PS: ho provato a fare la prova del 9 derivando la x(t) è posso affermare che il risultato è corretto.

Answer 1

Risposta preferita

Questa si chiama equazione del moto dell'oscillatore armonico con forzante

Tutto quello che devi fare è trovare la soluzione dell'equazione differenziale sostituendo a=x''

Venendo quindi

x'' + x =F0 cos(ωt)

E' un'equazione di secondo ordine a coefficienti reali. Per risolvere questo tipo di equazioni si è soliti studiare prima il caso omogeneo e poi il caso non omogeneo.

Per il caso omogeneo scriviamo il polinomio caratteristico

k^2 + 1 = 0

k allora ha due radici complesse coniugate k=+- i

Le soluzioni saranno quindi C1(cos(t) + i sen(t)) + C2(cos(t) - isen(t)) = (C1-C2)isen(t) + (C1+C2)cos(t)

poichè si può scegliere costanti complesse per togliere l'unità immaginaria le scegliamo in modo tale che si abbia

x=D1sen(t) + D2cos(t)

Il metodo per risolvere il caso non omogeneo è il metodo della somiglianza ( nel caso tu non sappia cosa sia rivedi il tuo libro)

poniamo

y = Acos(ωt) + Bsen(ωt)

y'= -ωAsen(ωt) + ωBcos(ωt)

y''=-ω^2Acos(ωt) - ω^2Bsen(ωt)

sostiuiamo allora y a x nell'equazione

y'' + y = F0 cos(ωt)

-ω^2Acos(ωt) - ω^2Bsen(ωt) + Acos(ωt) + Bsen(ωt) = F0 cos(ωt)

raccogliamo

cos(ωt)[A-ω^2A] + sen(ωt)[B- ω^2B] = F0 cos(ωt)

Si impone allora il sistema

{A-ω^2A=F0

{

{B- ω^2B=0

{A(1-ω^2)=F0

{

{B(1-ω^2)=0

{A=F0/(1-ω^2)

{

{B=0

e quindi x(t)=F0/(1-ω^2) cos(ωt)

Siccome una souzione di un'equazione non omogenea può essere la somma del caso omogeneo + il caso non omogeneo allora l'integrale generale sarà

x(t)=D1sen(t) + D2cos(t) + F0/(1-ω^2) cos(ωt)

verifichiamo quindi la prima condizione

0=D1sen(0) + D2cos(0) + F0/(1-ω^2) cos(ω0)

0 = 0 + D2 + F0/(1-ω^2)

D2=-F0/(1-ω^2)

Ora deriviamo

v(t)=x'(t)=D1cos(t) + F0/(1-ω^2)sen(t) - F0/(1-ω^2) sen(ωt)

Sostituiamo la seconda condizione

0=D1cos(0) + F0/(1-ω^2)sen(0) - F0/(1-ω^2) sen(ω0)

D1=0

Ora ci basta sostituire D1 e D2 nell'integrale generale

x(t)= -F0/(1-ω^2)cos(t) + F0/(1-ω^2) cos(ωt) = F0/(1-ω^2)[cos(ωt) - cos(t)]

Così come tu avevi previsto

Answer 2

Dobbiamo notare prima che dimensionalmente non ci siamo F è una forza allora x è pure una forza e non uno spostamento. Ammettendo di sistemare la cosa con un opportuno coefficiente dimensionale k, la forza è F= -kx + F0 cos ωt e la forza -kx diviene una forza di tipo elastico.

Devi osservare ora che l'accelerazione a è la derivata seconda dello spostamento x . Onde vale l'equazione :

mx''+kx=F0cosωt che è un'equazione differenziale lineare di secondo ordine con termine noto. per risolverla occorre prima risolvere l'omogenea associata mρ^2+k=0 che ha solo soluzioni immaginarie ρ=±iθ con θ= √(k/m) e quindi aggiungere una soluzione particolare ottenibile ad es. col metodo di Lagrange.

Ma non so se tu puoi spingerti tanto.