Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 9 anni fa

Fisica - Esercizio Manubrio Asimmetrico?

Due corpi puntiformi di massa m=3kg e M=5 kg sono fissati all'estremità di un'asta rigida di lunghezza L=0.8m di massa trascurabile. Il corpo di massa m è incernierato ad un asse orizzontale fisso, così che il manubrio possa ruotare senza attrito nel piano verticale attorno alla cerniera O. Inizialmente il manubrio viene mantenuto in equilibrio statico in configurazione tale che l'asta formi un angolo di 30° con l'asse orizzontale tramite una fune ideale di massa trascurabile che collega la massa M ad un gancio G di una parete verticale passante per O distante L dal punto O. All'istante t la fune viene tagliata e il manubrio si mette in rotazione nel piano verticale. Calcolare nel sistema di riferimento Oxy:

a) la tensione iniziale T della fune

b) la reazione iniziale R sviluppata dal perno in O

c) la velocità angolare del manubrio nell'istante in cui l'asta raggiunge la configurazione orizzontale

d) l'energia cinetica interna del manubrio in tale istante

e) la reazione R' sviluppata dall'asse di rotazione quando il manubrio raggiunge la configurazione del punto c).

Immagine: http://www.abload.de/img/esame-298hxw.jpg

Grazie per l'aiuto!

1 risposta

Classificazione
  • 9 anni fa
    Risposta preferita

    Per la parte statica, prima di tagliare il filo, utilizza le equazioni cardinali, iniziando dalla 2a e calcolando i momenti rispetto alla cerniera O. Assumi come verso positivo per la rotazione intorno ad O quello orario. Si ha:

    M g L cos30° - T h = 0

    da cui

    T = M g L cos30°/h

    Osserva che il triangolo OGM è equilatero: infatti OG = OM = L e l'angolo compreso è 60°. Pertanto, h, braccio della tensione T, è anche l'altezza di detto triangolo quindi vale

    h = L cos30°

    Si conclude:

    (a) T = M g = 49 N

    Scrivi ora la 1a equazione cardinale e proiettala sugli assi X e Y (vedi figura). Si ha:

    - T cos30° + Rx = 0 --> Rx = T cos30° = 42,4 N

    - (m+M) g + T sen30° + Ry = 0 --> Ry = (m+M/2) g = 53,9 N

    (b) |R| = radice(Rx² + Ry²) = 68,6 N

    Tagliato il filo hai un problema di dinamica. Poiché le forze che compiono lavoro sono conservative, si conserva l'energia meccanica. Quindi:

    Uo + To = U1 + T1

    dove

    Uo = M g L sen30° ; To = 0 ; U1 = 0 ; T1 = (1/2) M v²

    quindi

    v = radice(g L)

    quindi

    (c) ω = v/L = radice(g/L) = 3,5 rad/s

    E' la prima volta che sento parlare di "energia cinetica interna" . Suppongo si tratti dell'energia di rotazione attorno al CdM. In questo caso, ci sono vari modi per calcolarla. Quello che mi sembra più semplice, è fare la differenza fra T1 e (1/2) (m+M) V²cm energia di traslazione con il CdM.

    In questo caso, calcola la distanza r del CdM da O. Si ha:

    r = L M/(M+m) = 5 L/8

    Vcm = r ω

    quindi

    Trot = (1/2) M v² - (1/2) (M+m) r² ω²

    Svolgendo attentamente i calcoli si perviene a

    (d) Trot = [m M/(m+M)] g L/2 = 7,35 J

    (N.B. L'espressione fra parentesi si chiama "massa ridotta m*" del sistema e m* = 15/8 kg)

    Infine, per l'ultimo punto, scrivi la 1a equazione cardinale e proiettala sugli assi X e Y. Si ha:

    Rx = (m+M) V²cm/r = (m+M) r² ω²

    Ry - (m+M) g = (m+M) aycm

    Ma dalla 2a cardinale, scritta con l'asta orizzontale, si ha

    M g L = M L² dω/dt ---> dω/dt = g/L

    e

    aycm = r dω/dt = r g/L

    Lascio a te il completamento dei calcoli.

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.