Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 10 anni fa

Mi aiutate in questa sommatoria?

Mi aiutereste a sviluppare i calcoli di questa sommatoria della quale so il risultato ma non so come ci si arriva?

sommatoria di n che va da zero a piu infinito di (n*a* e^(-n*a/b)) il tutto diviso dalla sommatoria di n che va da zero a piu infinito di (e^(-n*a/b)) con a e b costanti

Il risultato è (a*e^(-a/b))/(1-e^(-a/b))

Per chi studia fisica questa è la sommatoria per calcolare l'energia hv degli oscillatori della teoria quantistica di planck! ( con a= hv e b = kT)

Grazie

1 risposta

Classificazione
  • Dani
    Lv 7
    10 anni fa
    Risposta preferita

    Tieni presente che

    ∑ xⁿ = 1/(1 – x) ........... |x| < 1

    Questa sommatoria e le seguenti sono per n cha va da 0 a infinito.

    Derivando e moltiplicando per x hai

    ∑ nxⁿ = x/(1 – x)² ........... |x| < 1

    Quindi, portando fuori il fattore costante a,

    ∑ naxⁿ .... ax/(1 – x)² ... .. ax

    –––––– = ––––––––– = –––––– ........... |x| < 1

    . ∑ xⁿ ....... 1/(1 – x) ..... 1 – x

    Nota che e^(–na/b) = [e^(–a/b)]ⁿ; sostituendo x = e^(–a/b) (essendo a/b > 0) hai come risultato

    .. ax ....... a*e^(–a/b) ......... a

    –––––– = ––––––––– = –––––––––

    1 – x ..... 1 – e^(–a/b) . e^(a/b) – 1

    **

    ciao

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