Mi aiutate in questa sommatoria?
Mi aiutereste a sviluppare i calcoli di questa sommatoria della quale so il risultato ma non so come ci si arriva?
sommatoria di n che va da zero a piu infinito di (n*a* e^(-n*a/b)) il tutto diviso dalla sommatoria di n che va da zero a piu infinito di (e^(-n*a/b)) con a e b costanti
Il risultato è (a*e^(-a/b))/(1-e^(-a/b))
Per chi studia fisica questa è la sommatoria per calcolare l'energia hv degli oscillatori della teoria quantistica di planck! ( con a= hv e b = kT)
Grazie
1 risposta
- DaniLv 710 anni faRisposta preferita
Tieni presente che
∑ xⁿ = 1/(1 – x) ........... |x| < 1
Questa sommatoria e le seguenti sono per n cha va da 0 a infinito.
Derivando e moltiplicando per x hai
∑ nxⁿ = x/(1 – x)² ........... |x| < 1
Quindi, portando fuori il fattore costante a,
∑ naxⁿ .... ax/(1 – x)² ... .. ax
–––––– = ––––––––– = –––––– ........... |x| < 1
. ∑ xⁿ ....... 1/(1 – x) ..... 1 – x
Nota che e^(–na/b) = [e^(–a/b)]ⁿ; sostituendo x = e^(–a/b) (essendo a/b > 0) hai come risultato
.. ax ....... a*e^(–a/b) ......... a
–––––– = ––––––––– = –––––––––
1 – x ..... 1 – e^(–a/b) . e^(a/b) – 1
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ciao