? ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 8 anni fa

SFIDA Matematica per appassionati: 10 punti e ingente onore?

Questi non sono "esercizi" che mi serve risolvere. Li ho inventati io perchè non ho niente da fare e voglio regalare 10 punti a chi (come me) si diverte a manipolare l'algebra. (Utopia: Se avrà successo ne farò un secondo e col tempo stilerò una classifica per tempo di intervento su risposta corretta)

SFIDA MATEMATICA N1:

dimostrare con procedimento matematico (rigoroso e magari anche furbo) che ∀x > 0 vale che il seguente polinomio

(√(x)+1)² - √(xsinx+2x+1) - 2√(x) è maggiore o uguale di 0

Aggiornamento:

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nah, magari a qualche gioco a computer... la playstation non mi piace tanto xD. Comunque non è poi tanto difficile e non ho costretto nessuno a partecipare :P

Aggiornamento 2:

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molto bene frank, interessante soluzione. La dimostrazione che il polinomio vale anche per x=0 è un extra, non è che non sapessi della sua valenza. Appena sarà possibile ti saranno consegnati 10 Punti. Se ti fa piacere, rimani in giro per altri problemi del genere :P

4 risposte

Classificazione
  • 8 anni fa
    Migliore risposta

    Finalmente qualcuno che propone degli esercizi "insoliti" :D. Ho pensato che si può procedere così:

    E' chiaro che il primo termine della funzione è sempre e comunque positivo ( elevato alla seconda ) ed è altrettanto chiaro che il doppio prodotto che si sviluppa dalla potenza semplifica l'ultimo termine della funzione stessa così otteniamo che deve essere

    x + 1 ≥ √(xsinx+2x+1)

    Riscriviamo il secondo termine fuori dalla radice così:

    x (sinx + 2) + 1

    A questo punto però notiamo una cosa importantissima: il termine tra parentesi a seconda del seno può assumere un valore massimo ed uno minimo; gli altri oscillano tra questi "estremi":

    E' chiaro che sin x torna valori compresi nell'intervallo [-1, 1] dunque il secondo termine in totale può valere al minimo x + 1 e al massimo 3x + 1.

    Analizziamo questi due casi limite:

    - x + 1 ≥ √(x + 1) con x ≥ 0 si verifica facilmente

    - x + 1 ≥ √(3x + 1) è un pochino più complicato ma elevando al quadrato

    (x+1)² ≥ 3x + 1 e questo vale per ogni x tranne per l'intervallo ]0, 1[ ma dato che 3x è un caso limite che è valido se x = 0 o un multiplo rispetto a 3,14 allora si può dire verificata.

    Detto questo abbiamo dimostrato che x + 1 ≥ √(xsinx+2x+1) e che quindi ∀x ≥ 0.. tu hai scritto che per zero non vale ma questo non è esatto:

    (√(x)+1)² - √(xsinx+2x+1) - 2√(x) ≥ 0

    (0 + 1)² - √(0 + 0 + 1) - 2√0 ≥ 0

    1 - 1 ≥ 0

    0 ≥ 0

    E quindi è verificata anche per x = 0. Ora ho fatto una dimostrazione un pò strana ma ho provato con il manipolare la disequazione; in effetti è molto divertente.

    Sicuramente si può risolvere normalmente o seguendo qualche regola ma sinceramente preferisco farlo senza usare troppi strumenti.. però penso che sicuramente potrai obbiettare qualcosa a questa dimostrazione.. in tal caso correggerò ciò che devo!

    Sai com'è: non si sa mai e nel dubbio ho preferito fartelo notare.

    Comunque mi piacciono questi problemi quindi se ne avrò il tempo parteciperò!

  • Mantis
    Lv 4
    8 anni fa

    Si parte dal fatto che, per x > 0, x ≥ sin(x), poi tutto ne segue, fino ad arrivare al tuo miscuglio di radici e robe varie

    x ≥ sin(x)

    x·x ≥ x·sin(x)

    x·x + 2·x + 1 ≥ x·sin(x) + 2·x + 1

    (x + 1)^2 ≥ x·sin(x) + 2·x + 1

    (x + 1)^2 ≥ (√(x·sin(x) + 2·x + 1))^2

    se due quadrati sono uguali, o le basi sono uguali, o le basi sono opposte

    x + 1 ≥ √(x·sin(x) + 2·x + 1) ∨ x + 1 ≥ - √(x·sin(x) + 2·x + 1)

    la seconda è impossibile, dato che x + 1 è positivo (perchè x >= 0), mentre -√(x·sin(x) + 2·x + 1) è negativo.

    x + 1 ≥ √(x·sin(x) + 2·x + 1)

    x + 1 - √(x·sin(x) + 2·x + 1) ≥ 0

    x + 1 - √(x·sin(x) + 2·x + 1) + 2·√x - 2·√x ≥ 0

    (√x + 1)^2 - √(x·sin(x) + 2·x + 1) - 2·√x ≥ 0

    Fatto.

    Non è che sia stato un esercizio molto divertente. Pensa dei problemi più belli!!

    ciao :D

  • 8 anni fa

    Ti dò un consiglio: studiati la geometria, è più divertente.

  • Ace
    Lv 6
    8 anni fa

    Farti una partita alla Playstation no eh?

    P.s. mi dispiace ma non sarei mai in grado di risolvere una cosa del genere :-)

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