SFIDA Matematica per appassionati: 10 punti e ingente onore?

Question

Questi non sono "esercizi" che mi serve risolvere. Li ho inventati io perchè non ho niente da fare e voglio regalare 10 punti a chi (come me) si diverte a manipolare l'algebra. (Utopia: Se avrà successo ne farò un secondo e col tempo stilerò una classifica per tempo di intervento su risposta corretta)

SFIDA MATEMATICA N1:
dimostrare con procedimento matematico (rigoroso e magari anche furbo) che ∀x > 0 vale che il seguente polinomio

(√(x)+1)² - √(xsinx+2x+1) - 2√(x) è maggiore o uguale di 0

frank094 · Accepted Answer

Finalmente qualcuno che propone degli esercizi "insoliti" :D. Ho pensato che si può procedere così:

E' chiaro che il primo termine della funzione è sempre e comunque positivo ( elevato alla seconda ) ed è altrettanto chiaro che il doppio prodotto che si sviluppa dalla potenza semplifica l'ultimo termine della funzione stessa così otteniamo che deve essere

x + 1 ≥ √(xsinx+2x+1)

Riscriviamo il secondo termine fuori dalla radice così:
x (sinx + 2) + 1
A questo punto però notiamo una cosa importantissima: il termine tra parentesi a seconda del seno può assumere un valore massimo ed uno minimo; gli altri oscillano tra questi "estremi":
E' chiaro che sin x torna valori compresi nell'intervallo [-1, 1] dunque il secondo termine in totale può valere al minimo x + 1 e al massimo 3x + 1.

Analizziamo questi due casi limite:

- x + 1 ≥ √(x + 1) con x ≥ 0 si verifica facilmente
- x + 1 ≥ √(3x + 1) è un pochino più complicato ma elevando al quadrato
(x+1)² ≥ 3x + 1 e questo vale per ogni x tranne per l'intervallo ]0, 1[ ma dato che 3x è un caso limite che è valido se x = 0 o un multiplo rispetto a 3,14 allora si può dire verificata.

Detto questo abbiamo dimostrato che x + 1 ≥ √(xsinx+2x+1) e che quindi ∀x ≥ 0.. tu hai scritto che per zero non vale ma questo non è esatto:

(√(x)+1)² - √(xsinx+2x+1) - 2√(x) ≥ 0
(0 + 1)² - √(0 + 0 + 1) - 2√0 ≥ 0
1 - 1 ≥ 0
0 ≥ 0

E quindi è verificata anche per x = 0. Ora ho fatto una dimostrazione un pò strana ma ho provato con il manipolare la disequazione; in effetti è molto divertente.
Sicuramente si può risolvere normalmente o seguendo qualche regola ma sinceramente preferisco farlo senza usare troppi strumenti.. però penso che sicuramente potrai obbiettare qualcosa a questa dimostrazione.. in tal caso correggerò ciò che devo!

Sai com'è: non si sa mai e nel dubbio ho preferito fartelo notare.
Comunque mi piacciono questi problemi quindi se ne avrò il tempo parteciperò!

Mantis · Answer

Si parte dal fatto che, per x > 0, x ≥ sin(x), poi tutto ne segue, fino ad arrivare al tuo miscuglio di radici e robe varie

x ≥ sin(x)

x·x ≥ x·sin(x)
x·x + 2·x + 1 ≥ x·sin(x) + 2·x + 1
(x + 1)^2 ≥ x·sin(x) + 2·x + 1
(x + 1)^2 ≥ (√(x·sin(x) + 2·x + 1))^2

se due quadrati sono uguali, o le basi sono uguali, o le basi sono opposte

x + 1 ≥ √(x·sin(x) + 2·x + 1)   ∨ x + 1 ≥ - √(x·sin(x) + 2·x + 1) 

la seconda è impossibile, dato che x + 1 è positivo (perchè x >= 0), mentre -√(x·sin(x) + 2·x + 1)  è negativo.

x + 1 ≥ √(x·sin(x) + 2·x + 1)
x + 1 - √(x·sin(x) + 2·x + 1) ≥ 0
x + 1 - √(x·sin(x) + 2·x + 1) + 2·√x - 2·√x ≥ 0


(√x + 1)^2 - √(x·sin(x) + 2·x + 1) - 2·√x ≥ 0

Fatto. 

Non è che sia stato un esercizio molto divertente. Pensa dei problemi più belli!!
ciao :D

Autunno assolato · Answer

Ti dò un consiglio: studiati la geometria, è più divertente.

Ace · Answer

Farti una partita alla Playstation no eh?

P.s. mi dispiace ma non sarei mai in grado di risolvere una cosa del genere :-)

SFIDA Matematica per appassionati: 10 punti e ingente onore?

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