rettificabilità di una curva?

salve.la mia domanda è:come faccio a verificare la rettificabilità di una curva?cioè,so che bisogna calcolare il sup della somma delle possibili spezzate ma non so nella pratica come calcolarlo.mi potete aiutare?grazie!! :D

Aggiornamento:

la curva in questione è la seguente: x(t)=2cos(t) y(t)=2sen(t) z(t)=t^2 con -pi<t<pi di tale curva è richiesta la verifica della rettificabilità e della regolarità.

di nuovo grazie! :D

2 risposte

Classificazione
  • 8 anni fa
    Migliore risposta

    Assegnata una curva γ di equazioni parametriche

    x=x(t)

    y=y(t)

    z=z(t)

    con t ε I (I è un intervallo), essa si dirà regolare se le funzioni x(t), y(t) e z(t) sono di classe C¹ su I e se la funzione

    H(t) = √[(dx/dt)²+ (dy/dt)²+ (dz/dt)²]

    è strettamente positiva su I. Nel tuo caso le funzioni x(t), y(t) e z(t) hanno senza dubbio derivate continue ovunque e inoltre la funzione

    H(t) = √(4sin²t + 4cos²t+4t²) = 2√(1+t²)

    è sempre strettamente positiva. Quindi la tua curva è regolare. Siccome γ è regolare essa è anche rettificabile.

    OSSERVAZIONE 1. La definizione di rettificabilità attraverso il sup della lunghezza delle spezzate viene spesso usata per dimostrare che una curva NON è rettificabile, facendo vedere che per una particolare spezzata la sua lunghezza diverge.

    OSSERVAZIONE 2. Nel tuo caso particolare puoi anche calcolare facilmente la lunghezza della curva γ. Infatti essa è data da

    L=∫H(t) dt = 2∫√(1+t²) dt

    dove l’integrazione è effettuata sul tuo intervallo I, ossia da -π a π. Svolgendo i calcoli trovi

    L = 2asinh π + 2π√(π²+1)

    Ciao!!

  • Anonimo
    8 anni fa

    x

    l' unico modo per "verificare"... è fare i calcoli e vedere cosa salta fuori.

    non si può rispondere in maniera aprioristica alla tua domanda.

    è come per le derivate... ti ricordi? Si scriveva il rapporto incrementale, e poi se ne faceva il limite per h->0

    in casi semplici, era possibile calcolare manualmente la derivata di parecchie funzioni.

    ...................................

    la curva è RETTIFICABILE quando può essere racchiusa in un rettangolo di dimensioni finite.

    questo è il principio che vale per le funzioni "domestiche"

    certamente se consideri la curva di Koch questo ragionamento fa a farsi benedire...

    http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Koch

    ma io vorrei anche vedere la espressione algebrica di questa curva... e magari anche della sua derivata !

    se invece la curva non è limitata... ovviamente non sarà rettificabile.

    es. logx tra 0 ed 1.. oppure tgx tra 0 e TT/2

    sono tutte curve di lunghezza infinita, pur essendo limitato l' intervallo di integrazione.

    non ne parliamo poi delle curve estese all' infinito in orizzontale... tipo y= x²

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