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Regola di derivazione logaritmica?

Devo usare la regola di derivazione logaritmica.

In particolare devo esplicitare la formula della velocità del suono facendo una derivata logaritmica.

c(suono) = √(∂P /∂ρ)

Dopo aver derivato logaritmicamente (non so come) si ottiene:

c(suono) = √ (k* P / ρ)

dove in teoria si è fatto uso di una relazione del tipo:

P * ρ^ -k = cost

Chi mi spiega che algoritmo usare per la regola di derivazione logaritmica?

1 risposta

Classificazione
  • Dani
    Lv 7
    9 anni fa
    Risposta preferita

    La questione è puramente analica; in sostanza

    P*ρ^(-k) = cost ==> ∂P/∂ρ = k*P/ρ ........... (*)

    da cui segue immediatamente c(suono) = √(∂P/∂ρ) = √(k*P/ρ).

    Per provare l'implicazione (*) con le derivate logaritmiche, basta osservare che

    dl(F*G) = dl(F) + dl(G) .............................. (**)

    dl(F^α) = α*dl(F) ...... ... .. ........................ (***)

    dove "dl" indica la derivata logaritmica rispetto a una fissata variabile indipendente.

    Rispetto alla variabile ρ, per definizione dl(H) = (∂H/∂ρ)/H.

    Dando per buona (**) e (***), abbiamo

    P*ρ^(-k) = cost ==>

    dl(P) + dl(ρ^(-k)) = dl(cost) ==>

    dl(P) - k dl(ρ) = 0 ==>

    dl(P) = k dl(ρ) ==> tornando alle derivate parziali solite...

    (∂P/∂ρ)/P = k/ρ ==>

    ∂P/∂ρ = kP/ρ

    Come esercizio, prova a dimostrare (**) e (***).

    ciao

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