Risoluzione equazione differenziale aiutoooooooooo?

Devo risolvere questa equazione differenziale del secondo ordine

Mz' ' = Mg - hz

me lo mostrate dettagliatamente perfavore?

1 risposta

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  • 9 anni fa
    Risposta preferita

    La tua equazione sembra l’equazione del moto di una massa M appesa ad una molla di costante elastica h, per questo immagino h>0.

    La tua equazione è (ponendo ω² = h/M visto che h ed M sono positivi)

    z’’ = -ω²z + g

    che è lineare non omogenea del secondo ordine. La sua soluzione generale è data dalla somma di una sua soluzione particolare e della soluzione generale della omogenea associata. La soluzione particolare la trovi ipotizzando z costante (soluzione a riposo). Avrai z’’=0 e dunque

    z(t) = g/ω²

    Dobbiamo ora risolvere l’omogenea associata, ossia l’equazione

    z’’ = -ω²z

    Questa equazione è soddisfatta dalle funzioni cos(ωt) e sin(ωt) e, dunque, da loro combinazioni lineari, quindi puoi porre

    z(t) = Asin(ωt + θ)

    (infatti sviluppando la somma del seno ottieni una combinazione lineare di cos(ωt) e sin(ωt) ). L’equazione lineare omogenea è di secondo grado e infatti ottieni correttamente due costanti di integrazione da determinare mediante le condizioni iniziali (A e θ). La soluzione dell’equazione di partenza sarà in definitiva

    z(t) = Asin(ωt + θ) + g/ω²

    P.S. avrai notato che non ho svolto in dettaglio la risoluzione dell’equazione differenziale omogenea. C’è un motivo preciso: ogni professore di fisica si aspetta che tu sappia al volo che la soluzione di z’’ = -ω²z è Asin(ωt + θ), visto chè è un’equazioni estremamente frequente (l’oscillatore armonico). Se vuoi la dimostrazione puoi comunque ragionare così: le soluzioni di una equazione differenziale lineare omogenea di secondo grado formano uno spazio vettoriale di dimensione 2. Ora verifichi immediatamente che cos(ωt) e sin(ωt) sono entrambe soluzioni dell’equazione. Ma queste due soluzioni sono linearmente indipendenti (non sono multiple l’una dell’altra) e dunque formano una base dello spazio delle soluzioni: come dire che ogni altra soluzioni si scrive come combinazione lineare di cos(ωt) e sin(ωt).

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