Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 8 anni fa

Piano osculatore a una curva!!!?

Data la curva nello spazio euclideo C : x=sin(t), y=2cos(t), z=t^2 , t€R+ determina il piano osculatore a C nel punto P(0,-2,pi-greco^2).

10 punti a chi mi spiega come si fa passo passo ;)

1 risposta

Classificazione
  • 8 anni fa
    Migliore risposta

    Il piano osculatore alla curva

    γ(t) [sin(t), 2·cos(t), t^2]

    è il piano che ha per vettori direzionali i vettori tangente e normale in P e passante per P

    Il vettore tangente non è altro che la derivata prima, il normale la derivata seconda, quindi

    Ricavi per quale valore di t la curva regolare γ(t) passa per P

    da

    Z = t^2 = π^2 ricavi t = π (t€R+ è specificato poiché la curva non è semplice e si interseca proprio in P)

    calcoli il vettore tangente (è semplicemente la derivata prima)

    γ'(t) = [cos(t), -sin(t), 2t] (non è mai nullo, la curva è regolare)

    che in π vale

    γ'(π) = [-1, 0, 2·π]

    calcoli il vettore normale (derivata seconda)

    γ''(t) = [- sin(t), - 2·cos(t), 2]

    che in π vale

    γ''(π) = [0, 2, 2]

    a questo punto scrivi l'equazione del piano avente i vettori direzione trovati e passante per P

    [0,-2, π^2] + u·[-1, 0, 2·π] + v·[0, 2, 2]

    o in forma cartesiana

    - 4·π·x + 2·y - 2·z + 2·π^2 + 4 = 0

    la forma cartesiana la ricavi o direttamente dalla parametrica o consideri il vettore binormale dato dal prodotto vettoriale

    [-1, 0, 2·π] x [0, 2, 2] = [- 4·π, 2, -2]

    ed il piano ortogonale a questo vettore avrà equazione

    - 4·π·x + 2·y - 2·z + d = 0

    imponendo il passaggio per P (o traslando il piano - 4·π·x + 2·y - 2·z = 0 ) ottieni il piano scritto in precedenza.

    Ciao.

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.