Regola di derivazione f(x)^g(x) ovvero f di x elevato a g di x?

Question

La regola di derivazione è ala seguente f(x)^g(x) : f(x)^g(x) parentesi graffa g'x log [f(x)] + g(x) f'(x)/f(x)

ma nn la capisco perchè posto che non c'è la parentesi graffa che chiude nno capisco se dove c'è il logaritmo di fx, gx fa parte dell'argomento o meno o se tutto quello dopo la parentesi graffa è la somma del prodotto fra la derivata prima di gx per logfx e apppunto gx per derivata prima di fx fratto fx

Answer 1

Risposta preferita

f(x)^g(x) non rientra in nessuna delle regole di derivazione che di solito vengono date agli studenti, da qui il comprensibile smarrimento (che ho avuto a mia volta davanti alla derivata di x^x)

Per risolvere si può operare una "trasformazione" del tipo f(x)^g(x)=e^[g(x)lnf(x)] dove ho applicato la definizione di logaritmo naturale ed esponenziale ( e^lna=a) e una proprietà del log. nat (lna^b = blna).

A questo punto si applica la regola di derivazione delle funzioni composte: l'esponenziale (che rimane e^[g(x)lnf(x)] per la derivata dell'esponente che è il prodotto di 2 funzioni (derivazione del prodotto).

Risulta quello che hai indicato, però con la parentesi graffa alla fine :-)

Fonte/i: L'esercizio Dx^x l'ho trovato su Primo corso di analisi matematica - Acerbi, Buttazzo

Answer 2

La regola GIUSTA esiste :) ed è così: f(x)^(g(x))*{g'(x)*ln(f)+g(x)*[f'(x)/f(x)]}

Giuro che è così! :) spero di essere stata utile, ciao!