Chicca ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 9 anni fa

fisica 1, meccanica! Aiuto , 10 punti al migliore!?

Tre manicotti di masse 4M, 2M, M, sono liberi di scorrere senza attrito lungo una guida che ha un tratto rettilineo orizzontale e uno semicircolare di raggio R (noto), posto su un piano verticale.

Tutti i manicotti sono inizialmente fermi, e fra due di essi c’è una molla di costante elastica k (da determinare) non agganciata ai manicotti, compressa di un tratto ∆x noto. Al tempo t=0 il sistema viene lasciato libero di muoversi e, dopo l’espansione della molla,

il manicotto di massa 4M si allontana a velocità v0, mentre quello di massa 2M va ad urtare il terzo, (di massa M) in un processo istantaneo, perfettamente anelastico. Determinare:

a) la costante elastica della molla e l’istante al quale essa cessa di spingere sui due manicotti;

b) quanta energia viene dissipata nell’urto;

c) per quali valori di v0 il corpo risultante dall’urto si arresta prima di aver raggiunto la sommità del

profilo semicircolare.

d) spiegare se, dopo essere sceso, il corpo di massa 3M raggiungerà o meno il corpo di massa 4M.

Mi aiutate?Grazie!

1 risposta

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  • 9 anni fa
    Risposta preferita

    Considera come sistema materiale l'insieme dei due manicotti fra cui è posta la molla. Poiché le forze esterne al sistema sono tutte perpendicolari alla guida orizzontale, nella distensione della molla si conservano sia la quantità di moto che l'energia meccanica.

    Per la conservazione della quantità di moto si ha:

    0 = 4M v1 + 2M v2

    da cui, semplificata 2M, si ottiene

    2v1 = - v2

    Per la conservazione dell'energia meccanica si ha:

    (1/2) k ∆x² = (1/2)[4M v1² + 2M v2²)

    da cui

    k ∆x² = 12 M v1²

    Quindi, imponendo che sia v1 = v0 , si ottiene per la costante elastica

    k = 12 M (v0/∆x)²

    L'istante in cui la molla cessa di spingere è T/4 dove T è il periodo che, in questo caso, vale:

    T = 2π*radice(M*/k)

    dove M* è la "massa ridotta" del sistema, data da :

    M* = 4Mx2M/6M = 4M/3

    quindi

    t = T/4 = (π/2)*radice(4M/3k)

    Nell'urto totalmente anelastico, assumendo come verso positivo quello di v2, si ha:

    2M v2 = 3M v3

    da cui

    v3 = (2/3) v2 = (4/3) v0

    (b) l'energia dissipata nell'urto è:

    Edis = (1/2)(2M v2² - 3M v3²) = (4/3) M v0²

    (c) Imponi che al limite sia

    (1/2) 3 M [(4/3) v0]² = 3 M g 2R

    da cui

    v0 = (3/2) radice(g R)

    Infine per l'ultimo punto, il corpo di massa 3M, dopo essere disceso, avrà ripreso la velocità

    v3 = 4 v0/3 > v0

    quindi, se la guida è sufficientemente lunga, raggiungerà certamente il corpo 4M.

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