Carlo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 8 anni fa

Derivata lungo una curva?

Un aiuto a risolvere questo problema di Analisi 2:

data la funzione f(x,y)= (x^2-y^2) (x^2+y^2-2x) calcolare la derivata di f lungo il ramo di iperbole di equazione (x^2-y^2) = 9.

Grazie.

1 risposta

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  • Kameor
    Lv 7
    8 anni fa
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    ciao,

    per fare la derivata correttamente lungo una curva bisognerebbe trovare una sua parametrizzazione rispetto alla sua lunghezza.

    cioè la parametrizzazione: (x(s) , y(s))

    dove s è la lunghezza dell'arco della curva da (x(0) , y(0)) a (x(s) , y(s))

    trovare un parametrizzazione fatta in questo modo è complicato, allora si cerca una parametrizzazione qualsiasi della curva, in questo caso abbiamo un iperbole quindi conviene usare il coseno e il seno iperbolici

    { cosh(x) = 1/2(e^x + e^(-x))

    { senh(x) = 1/2(e^x - e^(-x))

    => cosh(x)^2 - senh(x)^2 = 1

    quindi la parametrizzazione dell'iperbole è

    { x(t) = 3 cosh(t)^2

    { y(t) = 3 senh(t)^2

    sapendo che ds è la lunghezza infinitesima di un pezzo di curva allora

    ds = √((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt = ||γ(t)|| dt

    la derivata di f rispeto a s si puo esprimere in funzione di t:

    df/ds = df/dt dt/ds = 1/||γ(t)|| df/dt

    quindi non resta che trovare la derivata rispetto alla parametrizzazione scelta

    f(x(t), y(t)) = 9(9cosh^2(t) + 9senh(t)^2 - 6cosh(t)) = 27(6cosh^2(t) - 2cosh(t) - 3)

    la derivata è

    df/dt = 27(12 senh(t)cosh(t) - 2 senh(t)) = 54 senh(t) (6cosh(t) - 1) )

    mentre

    ||γ(t)|| = √(9senh(t)^2 + 9cosh(t)^2) = 3 √(senh(t)^2 + cosh(t)^2)

    poichè

    (cosh(t))' = senh(t)

    (senh(t))' = cosh(t)

    dunque

    df/dt = 18 senh(t) (6cosh(t) - 1))/√(senh(t)^2 + cosh(t)^2)

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